文档介绍：高中数学椭圆的经典知识总结
椭圆知识点总结
1. 椭圆的定义:1,2
(1)椭圆:焦点在轴上时()(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时=1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。
2. 椭圆的几何性质:
(1)椭圆(以()为例):①范围:;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:两条准线; ⑤离心率:,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。⑥通径
:(1)点在椭圆外;
(2)点在椭圆上=1;
(3)点在椭圆内
:
(1)相交:直线与椭圆相交;(2)相切:直线与椭圆相切; (3)相离:直线与椭圆相离;
如:直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞));
4、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示P到与F所对应的准线的距离。
如(1)已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答:10/3);
(2)椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使之值最小,则点M的坐标为_______(答:);
5、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:,当即为短轴端点时,的最大值为bc;
6、弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=,若弦AB所在直线方程设为,则=。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
7、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;
如(1)如果椭圆弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是(答:);(2)已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:);(3)试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对称(答:);
特别提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验!
椭圆知识点
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任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
椭圆标准方程中,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且。
可借助右图理解记忆:
显然:恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看,的分母的大小,哪个分母大,焦点就在