文档介绍：1、复合函数的概念
如果y是a的函数,a又是x的函数,即y=f(a),a=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数y=f(x)和a=g(x)的复合函数,其中a是中间变量,自变量为x,函数值y。
例如:函数是由复合而成立。
函数是由复合而成立。
a是中间变量。
2、复合函数单调性
由引例对任意a,都有意义(a>0且a≠1)且。
对任意,
当a>1时,单调递增,当0<a<1时,单调递减。
∵当a>1时,
∵y=f(u)是上的递减函数∴
∴
∴是单调递减函数
类似地, 当0<a<1时,
是单调递增函数
一般地,定理:设函数u=g(x)在区间M上有意义,函数y=f(u)在区间N上有意义,且当X∈M时,u∈N。
有以下四种情况:
(1)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数;
(2)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数;
(3)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数;
(4)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数。
注意:内层函数u=g(x)的值域是外层函数y=f(u)的定义域的子集。
例1、讨论函数的单调性
(1)(2)
又是减函数
∴函数的增区间是(-∞,2],减区间是[2,+∞)。
②x∈(-1,3)
令
∴x∈(-1,1]上,u是递增的,x∈[1,3)上,u是递减的。
∵是增函数
∴函数在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减。
注意:要求定义域
 
练习:求下列函数的单调区间。
1、(1)减区间,增区间;
(2)增区间(-∞,-3),减区间(1,+∞);
(3)减区间,增区间;
(4)减区间,增函数。
2、已知求g(x)的单调区间。
提示:设,则g(x)=f(u)利用复合函数单调性解决:g(x)
的单调递增区间分别为(-∞,-1],[0,1],单调递减区间分别为[-1,0],[1,+∞)。
例2、y=f(x),且lglgy=lg3x+lg(3-x)
(1)y=f(x)的表达式及定义域;
(2)求y=f(x)的值域;
(3)讨论y=f(x)的单调性,并求其在单调区间上相应的反函数。
答案:(1)x∈(0,3)
(2)(0,]
(3)y=f(x)在上单调递增函数,在上是单调递减函数
当x∈时,;
当x∈时,。
例3、确定函数的单调区间。
提示,先求定义域:(-∞,0),(0,+∞),再由奇函数,先考虑(0,+∞)上单调性,并分情况讨论。
函数的递增区间分别为(-∞,-1], [0,+∞)
函数的递减区间分别为[-1,0),(0,1]。
1、求下列函数的单调区间。
(1)(2)(3)
2、求函数的递减区间。
3、求函数的递增区间。
4、讨论下列函数的单调性。
(1)(2)
答案:1(1)递减区间(2)递增区间(0,+∞)(3)递减区间(-∞,0]递增区间[2,+∞)
2、[,2] 3、(-∞,-2)