文档介绍：“双勾函数”的性质及应用
问题引入:求函数的最小值.
问题分析:将问题采用分离常数法处理得,,此时如果利用均值不等式,即,等式成立的条件为,而显然无实数解,所以“”不成立,因而最小值不是,遇到这种问题应如何处理呢?这种形式的函数又具有何特征呢?是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问,我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质.
一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质
1.“双勾函数”的定义
我们把形如(为常数,)的函数称为“双勾函数”.因为函数(为常数,)在第一象限的图像如“√”,而该函数为奇函数,其图像关于原点成中心对称,故此而得名.
“二次函数”与“双勾函数”的图像
二次函数图像
“双勾函数”图像
“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质
(1)“二次函数”的性质
①当时,在对称轴的左侧,随着的增大而减小;在对称轴的右侧,随着
的增大而增大;当时,函数有最小值.
②当时,在对称轴的左侧,随着的增大而增大;在对称轴的右侧,,函数有最大值.
(2)“双勾函数”性质的探究
①当时,在左侧,随着的增大而减小;在的右侧,随着的增大而增大;当时,函数有最小值.
②当时,在的左侧,随着的增大而增大;在的右侧,,函数有最大值.
综上知,函数在和上单调递增,在和上单调递减.
下面对“双勾函数”的性质作一证明.
证明:,且,则
.
以下我们怎样找到增减区间的分界点呢?
首先,∴就是一个分界点,另外我们用“相等分界法”,令,可得到,因此又找到两个分界点,.这样就把的定义域分为,,,四个区间,再讨论它的单调性.
设,则,,,
∴.
∴,即.
∴在上单调递减.
同理可得,在上单调递增;在上单调递增;在上单调递减.
故函数在和上单调递增,在和上单调递减.
性质启发:由函数的单调性及在其单调区间的端点处取值的趋势,可作出函数的图像,,特别是利用均值不等式而等号不成立时,更彰显其单调性的强大功能.
4.“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比
(1)“二次函数”的区间最值
设,求在上的最大值与最小值.
分析:将配方,得对称轴方程,
①当时,抛物线开口向上.
若必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值;
若,此时函数在上具有单调性,故在离对称轴较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值.
②当时,抛物线开口向下.
若必在顶点取得最大值,离对称轴较远端点处取得最小值;
若,此时函数在上具有单调性,故在离对称轴较远端点处取得最小值,较近端点处取得最大值.
以上,作图可得结论.
①当时,
;
.
图1
图2
图3
图4
图5
②当时,
;
.
图6
图7
图8
图9
图10
(2)“双勾函数”的区间最值
设,求在上的最大值与最小值.
分析:①当时,其图像为第一象限部分.
若,则函数必在界点处取得最小值,最大值需比较两个端点处的函数值;
若,此时函数在上具有单调性,故在离直线较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值.
②当时,其图像为第三象限部分.
若,则函数必在