文档介绍：辅助角公式教学应注意的的几个问题
在三角函数中,有一种常见而重要的题型,即化为一个角的一个三角函数的形式,进而求原函数的周期、值域、,教师们总结出公式=或=·
,,半个学期不到,大部分学生都忘了,,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.
教学中常见的推导过程与方法如下
例1 求证:sin+cos=2sin(+)=2cos(-).
其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:
可见, sin+cos可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin+bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
例2 化为一个角的一个三角函数的形式.
解: asin+bcos=(sin+cos),
令=cos,=sin,
则asin+bcos=(sincos+cossin)
=sin(+),(其中tan=)
令=sin,=cos,则asin+bcos=(sinsin+coscos)=cos(-),(其中tan=)
其中的大小可以由sin、cos的符号确定的象限,=和(a,b)所在的象限来确定.
推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos,=sin?“规定”式的推导,学生难记易忘、易错!
=来得更自然
能否让让辅助角公式来得更自然些?,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.
r
图1
O
的终边
P(a,b)
x
首先要说明,若a=0或b=0时,已经是一个角的一个三角函数的形式,≠0.
,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角,=r,r=,由三角函数的定义知
sin==,
cos=.
所以asin+bcos==cos sin+sincos
=.(其中tan=)
图2
r
O
x
y
的终边
P(b,a)
,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r=.由三角函数的定义知
sin==,
cos==.
asin+bcos=
=. (其中tan=)
例3 化为一个角的一个三角函数的形式.
解:在坐标系中描点P(,1),设角的终边过点P,则OP =r===,cos=.
∴=2cossin+2sincos=2sin().tan=.
,∴=2sin()