文档介绍：求极限的13种方法(简叙)
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极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终,极限思想亦是高等数学的核心与基础,因此,全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法,供同学参考。
利用恒等变形求极限
利用恒等变形求极限是最基础的一种方法,但恒等变形灵活多变,令人难以琢磨。常用的的恒等变形有:分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
例1、求极限,其中
分析由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立,因此,应先对其进行恒等变形。
解因为
=
=
=
当时,而,故=
利用变量代换求极限
利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式,从而减少运算量,提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
例2、求极限,其中m,n为正整数。
分析这是含根式的()型未定式,应先将其利用变量代换进行化简,再进一步计算极限。
解令
原式=
利用对数转换求极限
利用对数转换求极限主要是通过公式进行恒等变形,特别的情形,在()型未定式时可直接运用
例3、求极限
解原式=
利用夹逼准则求极限
利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。
例4、求极限
分析当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时,可考虑使用夹逼准则。
解因为,
且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限,所以=0
利用单调有界准则求极限
利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式
的数列极限。在确定存在的前提下,可由方程A=f(A)解出A,则=A。
例5、设,(n=1,2,…),求极限。
分析由于题中并未给出表达式,也无法求出,故考虑利用单调有界准则。
解由易知0。
根据算术平均数与几何平均数的关系,有
所以,数列有下界,即对一切n1,有
又
所以即数列单调减少。由单调有界准则知数列有极限。
现设=A,则由极限的保号性知A0.
对式子两边同时取极限得
解得 A=,即=(已舍去负根)
利用等价无穷小求极限
利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法,也是最为简便、快捷的方法。学****时不仅要熟记常用的等价无穷小,还应学会灵活应用。同时应注意:只有在无穷小作为因式时,才能用其等价无穷小替换。
例6、求极限
分析此题中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx均为无穷小,而均作为因式,故可以利用等价无穷小快速求出极限。
解当时,
故原式=
利用导数定义求极限
利用导数定义求极限适用于型极限,并且需要满足存在。
例7、求,其中。
分析初步可判断此题为()型未定式,先通过公式进行恒等变形,再进一步利用导数定义求得极限。
解=
而
由导数的定义知,表示函数lnsinx在x=a处的导数。即。
利用洛必达法则求极限
利用洛必达法则求极限适用于型未定式,其它类型未定式也可通过恒等变形转化为型。洛必达法则使用十分方便,但使用时注意检查是否符合洛必达法则的使用条件。
例8、求极限
解原式=
注:连续两次使用洛必达法则
利用微分中值定理求极限
利用微分中值定理求极限的重点是学会灵活应用拉格朗日中值定理,即。
例9、求极限
分析若对函数,在区间上使用拉格朗日中值定