文档介绍：均匀分布和几何概率
摘要均匀分布是概率论中的一个重要分布,本文重点介绍了一元均匀分布和二元均匀分布,包括它们的定义,性质,边缘分布和参数估计等;同时介绍了均匀分布产生的实际背景,以及它在实际问题中的具体适用范围。
同时也介绍了几何概率的基本定义,并将其与均匀分布的相似处进行比较,引入了通过测度的比较来判断事件发生的概率情况。
关键词均匀分布几何概率参数估计边缘分布最大似然估计
1 引言
,,应着重讲授数理统计理论及其实际建模方法,为开展数学实验奠定基础.
通过学习,理解概率统计当中的基本概念和性质;掌握几种常见分布;会计算一些事件的概率;能够求解简单的离散型随机变量的分布率及连续型随机变量的概率密度和分布函数;了解大数定率和中心极限定理的内容及其在实际应用中的指导意义;掌握参数估计的点估计法和区间估计法;理解并掌握参数的假设检验方法,并能用这些方法解决一些实际中的问题.
本文主要是对均匀分布基本概念及性质的研究,以及相应参数估计,边缘分布的简单介绍;并且对均匀分布和几何概率相似点进行联系比较。
实际中的均匀分布问题多种多样,本文的基础研究对于以后借助计算机的方法模拟均匀分布的实验过程一定会很有帮助。
2 一元均匀分布
若连续型随机变量X在有限区间上取值,且其概率密度为
则称X在上服从均匀分布,或称X服从上的均匀分布,记为.
若,则X的分布函数为:
由于故的确是概率密度函数.
若, 则
这说明X落在的任何子空间的概率,与该子空间的长度成正比,而与子空间的位置无关,就是说X的概率分布是很“均匀的”,这就是一元均匀分布的概率意义.
在实际问题中,服从均匀分布的例子是很多的,例如:
(1)设汽通过某站的汽车每10min一辆,那么乘客候车的时间是在[]上服从均匀分布的随机变量.
(2)通常的舍入误差X,是一个在[-,]上服从均匀分布的随机变量.
设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现在对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.
解因为X的概率密度为:
所以
令Y表示三次独立观测中观察值大于3的次数,则
所以
若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,方程有实根的概率是多少?
解因为X在(1,6)上服从均匀分布,所以X的概率密度
又方程有实根的条件是
所以
3 均匀分布U[a,b]及其产生的背景
设连续型随机变量X的分布函数为, 则称随机变量X服从上的均匀分布,记为.
若[x1,x2]是的任一子区间,则
这表明X落在的子区间内的概率只与子区间长度有关,而与子区间位置无关,因此X落在的长度相等的子区间内的可能性是相等的,所谓的均匀指的就是这种等可能性.
在实际问题中,当我们无法区分在区间内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时,我们就可以假定X服从上的均匀分布.
在估计、计算及测量引起的测量误差问题中,有一类误差具有“均匀性”,相应的分布叫均匀分布,.
称连续型随机变量X遵从区间上的均匀分布,并记为,如其分布密度函数有如下形式
容易得出他的分布函数:
:连续型随机变量取任何固定值的概率为0,因此从概率规律看来,U[a,b]和U(a,b).
产生均匀分布的另一个背景是舍入误差问题.
,对实数要做近似处理,所谓单精度实数和双精度实数,,则舍入误差X在内任意一点的(微分)邻域因为等可能的因此可认为X遵从此区间上的均匀分布.
4 多维均匀分布及其性质、边际分布
二维均匀分布定义
设A的面积L(A)满足0<(A)<∞.二维随机变量(X,Y)的分布密度函数为
则称(X,Y)遵从A上均匀分布,记为(X,Y)~.
二元均匀分布的性质
设G为平面上有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度:
()
则称在G上服从均匀分布.
由于,且
故满足概率密度的2个基本性质.
设(X,Y)在有界区域G上服从均匀分布,概率密度为试(),若D是G中的任一子区域,其面积为,则
该式表明,落