文档介绍：第四章向量组的线性相关性
第一节向量组与矩阵
定义1 n×1矩阵
称为n维列向量,1×n矩阵
aT[a1 a2 an]
称为n维行向量.
列向量行向量
(i=1,2,…,n),分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.
n维向量向量分量实向量复向量
零向量负向量
若向量的所有分量都是零,则称其为零向量,记为0=[0,0,…,0][-a1,-a2,…,-an]T称为向量[a1,a2,…,an]T的负向量.
本书只讨论实向量.
本书中讨论的向量如不加说明的话,指的都是列向量.
向量运算规律
因为列(行)向量是矩阵,:
=b(要求a与b是同型的,且对应的分量一一相等.)
+b=
+
=
=k
=
例1 (1)设a=[1,-2,3]T,若2a+3b=0,则b= ;
(2)若a+b=[-1, 3, 2]T,a-b=[1, 1, 4]T,则a= ;b= .
解(1) 2a=-3b,则
b=
a
(2) a+b+a-b=2a=[0, 4,6]T,则
a=[0, 2,3]T,b=[-1, 1,-1]T
向量组
若干个同维列向量(或同维行向量)所组成的集合叫做向量组,常用大写字母表示.
m个n维列向量组成的向量组A:a1 a2 am,可构成n×m矩阵
A=[a1 a2 am]
也可构成m×n矩阵
B= =[a1 a2 am]T=AT
矩阵与某个特定的向量组对应.
含有m个n维列向量,或含有n个m维行向量
含有m个n维行向量,或含有n个m维列向量
线性组合线性表示
定义2 设有m个n维向量构成的向量组A:a1 a2 am,及任意k个常数k1 k2 km,表达式
k1a1+ k2a2+ + kmam 称为向量组A的一个线性组合,k1, k2, , km称为这个线性组合的系数.
若n维向量b等于向量组A的某一个线性组合,即存在数,使b=1 a1+2 a2+ +m am,则称向量b可由向量组A线性表示.
例2 设
a1=
a2=
a3 =
b=
试证向量b能向量组a1 a2 a3线性表示,并求表达式.
解 x1 a1+x2 a2+ x3 a3=b,即
解得
即有b= a1+2a2-a3.
关键是x1a1 +x2 a2+ x3a3 =b是否有解
定理1 n维向量b可由n维向量组a1 a2 am线性表示的充分必要条件是n×m矩阵A=[a1 a2 am]的秩等于n×(m+1)矩阵B=[a1 a2 am, b]的秩.
由例2可知,有如下结果:
定义3 若向量组B:b1 b2 bt的每个向量都可由向量组A:a1 a2 as线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示;若向量组A与向量组B可相互线性表示,则称向量组A与B等价.
向量组等价
所说的线性表示,也可用矩阵的乘法描述.
向量bi能由向量组A:a1 a2 as线性表示,即存在常数A:k1i k2i ksi ,使
因此
即 B=AK
其中B=[b1 b2 bt],A=[a1 a2 as],K是s×t矩阵.
矩阵K存在的充要条件?
存在K使B=AK
方程B=AX有解
R(A)=R(A,B)
定理2 设n维向量组