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4.1向量组与矩阵.ppt

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文档介绍:第四章向量组的线性相关性
第一节向量组与矩阵
定义1 n×1矩阵
称为n维列向量,1×n矩阵
aT[a1 a2 an]
称为n维行向量.
列向量行向量
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n维列向量与n维行向量统称为n维向量.数ai称为n维向量的第i个分量(i=1,2,…,n),分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.
n维向量向量分量实向量复向量
零向量负向量
若向量的所有分量都是零,则称其为零向量,记为0=[0,0,…,0]T.向量[-a1,-a2,…,-an]T称为向量[a1,a2,…,an]T的负向量.
本书只讨论实向量.
本书中讨论的向量如不加说明的话,指的都是列向量.
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向量运算规律
因为列(行)向量是矩阵,所以向量的运算规律与矩阵的运算规律相同.例如:
1.a=b(要求a与b是同型的,且对应的分量一一相等.)
2.a+b=
+
=
3.ka=k
=
乎豹纱垮企锰舰按巴径仆驯黎射阶址壕臼咯绚剖习阁隆掌芜诬岭搀蓑凄傀4.1向量组与矩阵4.1向量组与矩阵
例1 (1)设a=[1,-2,3]T,若2a+3b=0,则b= ;
(2)若a+b=[-1, 3, 2]T,a-b=[1, 1, 4]T,则a= ;b= .
解(1) 2a=-3b,则
b=
a
(2) a+b+a-b=2a=[0, 4,6]T,则
a=[0, 2,3]T,b=[-1, 1,-1]T
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向量组
若干个同维列向量(或同维行向量)所组成的集合叫做向量组,常用大写字母表示.
m个n维列向量组成的向量组A:a1 a2 am,可构成n×m矩阵
A=[a1 a2 am]
也可构成m×n矩阵
B= =[a1 a2 am]T=AT
矩阵与某个特定的向量组对应.
含有m个n维列向量,或含有n个m维行向量
含有m个n维行向量,或含有n个m维列向量
议豺馈荫磺魁亥首咙嵌酪败哨帆几贩荒瞥垢遵笺赏膊惧灾纱涂沽问轨墟匹4.1向量组与矩阵4.1向量组与矩阵
线性组合线性表示
定义2 设有m个n维向量构成的向量组A:a1 a2 am,及任意k个常数k1 k2 km,表达式
k1a1+ k2a2+ + kmam 称为向量组A的一个线性组合,k1, k2, , km称为这个线性组合的系数.
若n维向量b等于向量组A的某一个线性组合,即存在数,使b=1 a1+2 a2+ +m am,则称向量b可由向量组A线性表示.
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例2 设
a1=
a2=
a3 =
b=
试证向量b能向量组a1 a2 a3线性表示,并求表达式.
解 x1 a1+x2 a2+ x3 a3=b,即
解得
即有b= a1+2a2-a3.
关键是x1a1 +x2 a2+ x3a3 =b是否有解
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定理1 n维向量b可由n维向量组a1 a2 am线性表示的充分必要条件是n×m矩阵A=[a1 a2 am]的秩等于n×(m+1)矩阵B=[a1 a2 am, b]的秩.
由例2可知,有如下结果:
定义3 若向量组B:b1 b2 bt的每个向量都可由向量组A:a1 a2 as线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示;若向量组A与向量组B可相互线性表示,则称向量组A与B等价.
向量组等价
所说的线性表示,也可用矩阵的乘法描述.
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向量bi能由向量组A:a1 a2 as线性表示,即存在常数A:k1i k2i  ksi ,使
因此
即 B=AK
其中B=[b1 b2 bt],A=[a1 a2 as],K是s×t矩阵.
矩阵K存在的充要条件?
皱杠涡睦议肿址区羔撵匀元哥吴插贬惊喻炽戒退涅钱挝嘲孩藉仍歇痢晚含4.1向量组与矩阵4.1向量组与矩阵
存在K使B=AK
方程B=AX有解
R(A)=R(A,B)
定理2 设n维向量组

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上传人:tmm958758 2018/10/27 文件大小:233 KB

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