文档介绍：第5章约束优化方法
机械优化设计中的问题,大多数属于约束优化设计问题,其数学模型为
根据求解方式的不同,约束优化设计问题可分为:直接解法、间接解法
直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题,思路是在m个不等式约束条件所确定的可行域内,选择一个初始点,然后决定可行搜索方向d,且以适当的步长,沿d方向进行搜索,得到一个使目标函数值下降的可行的新点,即完成一次迭代。再以新点为起点,重复上述搜索过程,直至满足收敛条件。
步长
可行搜索方向
可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时,目标函数值将下降,且不会越出可行域。常见的方法有坐标轮换法、随机方向法、复合形法等。
间接解法的基本思路是将约束优化问题中的约束函数进行特殊的加权处理后,和目标函数结合起来,构成一个新的目标函数,即将原约束优化问题转化成为一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算,从而间接地搜索到原约束问题的最优解。
可行方向法
可行方向是求解大型约束优化问题的主要方法之一。这种方法的基本原理是在可行域内选择一个初始点,当确定了一个可行方向d和适当的步长后,按式:
进行迭代计算,迭代点既不超出可行域,又使目标函数的值有所下降。在不断调整可行方向的过程中,使迭代点逐步逼近约束最优点。

第一步迭代都是从可行的初始点出发,沿点的负梯度方向,将初始点移动到某一个约束面(只有一个起作用的约束时)上, 或约束面的交集(有几个起作用的约束时)上。
4 沿非线性约束面的搜索

可行方向是指沿该方向作微小移动后,所得到的新点是可行点,且目标函数值有所下降。
可行方向应满足两个条件: (1)可行; (2)下降。
1)可行条件
方向的可行条件是指沿该方向作微小移动后,所得到的新点为可行点。
满足可行和下降条件,即式:
同时成立的方向称可行方向.
位于约束曲面在点xk的切线和目标函数等值线在点xk的切线所围成的扇形区内,该扇形区称为可行下降方向区。

满足可行、下降条件的方向位于可行下降扇形区内,在扇形区内寻找一个最有利的方向作为本次迭代的搜索方向。
(1)优选方向法
由条件:
求一个以搜索方向d为设计变量的约束优化问题
.
各函数均为设计变量d的线性函数,因此该式为一个(线性)规划问题。
(2)梯度投影法
当xk点目标函数的负梯度方向不满足可行条件时,可将方向投影到约束面(或约束面的交集)上,得到投影向量 dk。
x
k
d
k
g
1
(
x
)=0
g
2
(
x
)=0
g
3
(
x
)=0
g
4
(
x
)=0
P——投影算子,为nXn阶矩阵
G ——起作用约束函数的梯度矩阵,nXJ阶矩阵;

确定的步长应使新的迭代点为可行点,且目标函数具有最大的下降量。——约束一维搜索
1)取最优步长从xk点出发,沿dk方向进行一维最优化搜索,取得最优步长,计算新点x的值。
取到约束边界的最大步长
从xk点出发,沿dk方向进行一维最优化搜索,得到的新点x为不可行点。
改变步长,使新点x返回到约束面上来。使新点x恰好位于约束面上的步长称为最大步长。