文档介绍：一元二次方程的解法
(直接开平方法、配方法、公式法和分解法)
一元二次方程定义:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式:ax²+bx+c=0(a,b,c为常数,x为未知数,且a≠0)。
顶点式: y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)
交点式: y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)
[有交点A(x₁,0)和 B(x₂,0)的抛物线,即b²-4ac≥0] .
直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程,其解为x=m±
配方法:
²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根)
公式法:
:ax²+bx+c=0 (a≠0)
,计算Δ(=b²-4ac);
>0,该方程在实数域内有两个不相等的实数根:x=
若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=
若Δ<0,该方程在实数域内无实数根
因式分解法:
因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种),另外还有“十字相乘法”,因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤
将方程右边化为0;
将方程左边分解为两个一次式的积;
令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;
解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax²+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)²+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)。
增减性
当a>0且y在对称轴右侧时,y随x增大而增大,y在对称轴左侧则相反,同增同减。
当a<0且y在对称轴右侧时,y随x增大而减小,y在对称轴左侧则相反,大小小大。
常用公式总结:
 ;
  
根据判别式,讨论一元二次方程的根。
例1:已知关于的方程(1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2)没有实数根,问取什么整数时,方程(1)有整数解?
分析:在同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解:∵方程(1)有两个不相等的实数根,
∴,解得;
∵方程(2)没有实数根∴, 解得;
于是,同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围是
其中,的整数值有或
当时,方程(1)为,无整数根;
当时,方程(1)为,有整数根。
解得:
所以,使方程(1)有整数根的的整数值是。
说明:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而筛选出,这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1:不解方程,判别方程两根的符号。
分析:对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式△,但△只能用于判定根的存在与否,若判定根的正负,则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是:既要求出判别式的值,又要确定或的正负情况。
解:∵,∴△=—4×2×(—7)=65>0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为,
∵<0 ∴原方程有两个异号的实数根。
说明:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,另外由于本题中<0,所以可判定方程的根为一正一负;倘若>0,仍需考虑的正负,方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。
例2:已知方程的一个根为2,求另一个根及的值。
分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把代入原方程,先求出的值,再通过解方程办法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一:把代入原方程,得:
即, 解得
当时,原方程均可化为:
, 解得:
∴方程的另一个根为4,的值为3或—1。
解法二:设方程的另一个根为,
根据题意,利用韦达定理得:
, ∵,∴把代入