文档介绍：第5章微积分的数值解法
在现代工程领域或者科研过程中所遇到的许多实际问题的求解,常常归结为定积分的计算。例如,力学和电气中功和功率的计算、电流电压平均值及有效值的计算,几何学中面积和何种及其重心的计算,化学化工中的热容、热焓、转化率、反应时间和反应器体积等等的计算,都与某些定积分的计算有关。但很多情况下,其积分函数f(x)的关系难以明确表示,即使能用解析明确表示,有时表达式也很复杂,不能用于实际计算。本章介绍计算积分和导数的实用数值方法。
§ 数值积分的基本思想
一、定积分的数学含义
由定积分的定义:
其中为第i个积分区间内任一点。当n足够大时有以下近似表达式:
将被积函数在积分区间上足够多的离散点的函数值与其所在小区间长度乘积之和作为定积分的近似数值。
(5-1)
(5-2)
§ 数值积分的基本思想
二、定积分的几何含义
(5-2)式告诉我们,定积分的值就是由下面四条曲线所转面的面积,即:
图5-1 定积分的几何意义
§ 数值积分的基本思想
。这就是定积分的几何意义。
当求积区间只有一个时
1. 由积分中值定理,在(a, b)中必存在一点ξ,使得

(a)和f(b)的平均值近似代替f(ξ),则:
(ξ),则:
§ 数值积分的基本思想
推广到更一般情况,当把求积区间(a,b)分成n个小求积区间时,则根据定积分的几何定义,我们有
其中为小区间长度
分点为,它们所对应的纵坐标(函数)分别为。如图5-2,取其中任一个小区间进行分析。该区间为一曲边梯形,y用以下方法求其面积。
§ 数值积分的基本思想
1. 用小矩形或小梯形近似表示时,然后求和得到I , 这就是高等数学中的矩形积分法和梯形积分法。它们都是用直线(一次函数)代替曲线(f(x)函数)求得的近似值,精度较低,一般要求N取得足够大才能保证精度。
2. 当用曲线去逼近f(x)时,只要曲线近似程度足够高,一般都能满足计算精度要求。
本章按照上述思想,主要介绍梯形积分法、抛物线积分法(Simpson法)、Newton-Cotes积分法,龙贝格积分法以及高斯积分法
§ 梯形积分法
一. 定步长梯形积分法
1. 算法分析
设在区间(a, b)上有可积函数f(x),求积分值
将区间(a, b)分成n个相等的小区间,每个小区间之长为:
h=(b-a)/n
各分点: x0=a, x1, x2, …, xi, xi+1, …, xn=b
其中 xi=a+i*h (i=1,2,3, …,n)
用p(x)=c*x+d直线近似代替f(x)(参见图5-2)
§ 梯形积分法
用插值的方法,我们可求得
将其代入积分公式有
§ 梯形积分法
第i个区间:
Ti=(f(xi)+f(xi+1))*h/2
第i-1个区间:
Ti-1=(f(xi-1)+f(xi))*h/2
求和得到:
定步长梯形积分法的截断误差为:
(5-3)
§ 梯形积分法
该误差按h的2次方的速度下降,即定步长梯形积分法的误差阶为2,也就是说,定步长梯形积分法具有一阶代数精度(因为代数精度等于误差阶减1,所以2-1=1)。
2. 定步长梯形积分法的程序框图与通用程序设计
定步长梯形积分法的通用程序框图如图5-3所示,共分为三个程序框图,即在图中(1)为调用子程序的主控程序框图,(2)为函数子程序框图,(3)为积分通用子程序框图。