工程数学线性代数第五版答案.doc

文档介绍：线性代数重点
第一章行列式
8. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):
(1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0;
解
(按第n行展开)

=an-an-2=an-2(a2-1).
(2);
解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得
,
再将各列都加到第一列上, 得
=[x+(n-1)a](x-a)n-1.
(3);
解根据第6题结果, 有

此行列式为范德蒙德行列式.



.
(4);
解
(按第1行展开)

.
再按最后一行展开得递推公式
D2n=andnD2n-2-D2n-2, 即D2n=(andn-)D2n-2.
于是.
而,
所以.
(5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|;
解 aij=|i-j|,



=(-1)n-1(n-1)2n-2.
(6), 其中a1a2 × × × an¹0.
解




.
第二章矩阵及其运算
14. 设A为3阶矩阵, , 求|(2A)-1-5A*|.
解因为, 所以

=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8´2=-16.


15. 设, AB=A+2B, 求B.
解由AB=A+2E可得(A-2E)B=A, 故
.
16. 设, 且AB+E=A2+B, 求B.
解由AB+E=A2+B得
(A-E)B=A2-E,
即(A-E)B=(A-E)(A+E).
因为, 所以(A-E)可逆, 从而
.
17. 设A=diag(1, -2, 1), A*BA=2BA-8E, 求B.
解由A*BA=2BA-8E得
(A*-2E)BA=-8E,
B=-8(A*-2E)-1A-1
=-8[A(A*-2E)]-1
=-8(AA*-2A)-1
=-8(|A|E-2A)-1
=-8(-2E-2A)-1
=4(E+A)-1
=4[diag(2, -1, 2)]-1

=2diag(1, -2, 1).
18. 已知矩阵A的伴随阵,
且ABA-1=BA-1+3E, 求B.
解由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.
由ABA-1=BA-1+3E得
AB=B+3A,
B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A

.

第三章矩阵的初等变换与线性方程组
例10 求解齐次线性方程组(略)

12. 设, 问k为何值, 可使
(1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3.
解.
(1)当k=1时, R(A)=1;
(2)当k=-2且k¹1时, R(A)=2;
(3)当k¹1且k¹-2时, R(A)=3.
第四章向量组的线性相关性
例11. (略)
27.(以填空形式出现) 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知h1, h2, h3是它的三个解向量. 且
h1=(2, 3, 4, 5)T, h2+h3=(1, 2, 3, 4)T,
求该方程组的通解.
解由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于h1, h2, h3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得
2h1-(h2+h3)=(h1-h2)+(h1-h3)= (3, 4, 5, 6)T
为其基础解系向量, 故此方程组的通解:
x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T, (kÎR).
第五章待定
第五章相似矩阵及二次型
1. 试用施密特法把下列向量组正交化:
(1);
解根据施密特正交化方法,
,
,
.
(2).
解根据施密特正交化方法,
,
,
.
2. 下列矩阵是不是正交阵:
(1);
解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.
(2).
解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.
3. 设x为n维列向量, xTx=1, 令H=E-2xxT, 证明H是对称的正交阵.
证明因为
HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T
=E-2(xT)TxT=E-2xxT,
所以H是对称矩阵.
因为
HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)
=E-2xxT-2xxT+(2xx