文档介绍：立体几何中的向量方法(二)
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一、复****br/>二、讲授新课
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
(化为
向量问题)
(进行向量运算)
(回到图形
问题)
2、例题
例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
图1
解:如图1,设
化为向量问题
依据向量的加法法则,
进行向量运算
所以
回到图形问题
这个晶体的对角线的长是棱长的倍。
思考:
(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于, 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
分析:
分析:
∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离)
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
H
分析:面面距离
回归图形
点面距离
向量的模
解:
∴所求的距离是
练****br/>如图2,空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连结DE,计算DE的长。
O
A
B
C
D
E
图2
例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为
和,CD的长为, AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解:如图,
化为向量问题
根据向量的加法法则
进行向量运算
于是,得
设向量与的夹角为, 就是库底与水坝所成的二面角。
因此
A
B
C
D
图3
所以
回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为
例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为
和,CD的长为, AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
思考:
(1)本题中如果夹角可以测出,而AB未知,
其他条件不变,可以计算出AB的长吗?
A
B
C
D
图3
分析:
∴可算出 AB 的长。
(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗?
分析:如图,设以顶点为端点的对角线
长为,三条棱长分别为各棱间夹角为。
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D