文档介绍：类型一:利用柯西不等式求最值
解:∵且, 函数的定义域为,且,
即时函数取最大值,最大值为
法二:∵且, ∴函数的定义域为
由,得
即,解得∴时函数取最大值,最大值为.
当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解
【变式1】设且,求的最大值及最小值。
利用柯西不等式得,故最大值为10,最小值为-10
【变式2】已知,,求的最值.
法一:由柯西不等式
于是的最大值为,最小值为.
法二:由柯西不等式
于是的最大值为,最小值为.
【变式3】设2x+3y+5z=29,求函数的最大值.
根据柯西不等式
,
故。
当且仅当2x+1=3y+4=5z+6,即时等号成立,此时,
变式4:设= (1,0,- 2),= (x,y,z),若x2 + y2 + z2 = 16,则的最大值为。
【解】∵= (1,0,- 2),= (x,y,z) ∴.= x - 2z
由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x2 + y2 + z2) ³ (x + 0 - 2z)2
Þ 5 ´ 16 ³ (x - 2z)2 Þ - 4£ x £ 4
Þ - 4£ . £ 4,:
变式5:设x,y,z Î R,若x2 + y2 + z2 = 4,则x - 2y + 2z之最小值为时,(x,y,z) =
解(x - 2y + 2z)2 £ (x2 + y2 + z2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = = 36
∴ x - 2y + 2z最小值为- 6,公式法求(x,y,z) 此时∴,,
变式6:设x, y, zR,若,则之最小值为________,又此时________。
解析:∴最小值
∴∴
变式7:设a,b,c均为正数且a + b + c = 9,则之最小值为
解: ()(a + b + c)
Þ ().9 ³ (2 + 3 + 4)2 = 81 Þ ³ = 9
变式8:设a, b, c均为正数,且,则之最小值为________
解::
∴,最小值为18
变式9:设x,y,z Î R且,求x + y + z之最大、小值:
【解】∵由柯西不等式知
[42+()2 + 22] ³
Þ 25 ´ 1 ³ (x + y + z - 2)2 Þ 5 ³ |x + y + z - 2| Þ - 5 £ x + y + z - 2 £ 5 ∴- 3 £ x + y + z £ 7
故x + y + z之最大值为7,最小值为- 3
类型二:利用柯西不等式证明不等式
基本方法:(1)巧拆常数(例1) (2)重新安排某些项的次序(例2)
(3)改变结构(例3) (4)添项(例4)
、、为正数且各不相等,求证:
又、、各不相等,故等号不能成立∴。
例2.、为非负数,+=1,,求证:
∴
即
>>,求证:
解:,,∴,∴所证结论改为证
∴
例4.,求证:
左端变形,
∴只需证此式即可。
【变式1】设a,b,c为正数,求证:.
,即。
同理,. 将上面三个同向不等式相加得,
.
【变式2】设a,b,c为