文档介绍：相似三角形例题解析
编辑:启慧
为了帮助同学们复****天之骄学****研究部的老师参考多种学****资料精心选编了这套相似三角形总结专题,供同学们查漏补缺。若有疑问,请速与我们联系。
相似三角形是初中几何的重要内容,包括相似三角形的性质、判定定理及其应用,是中考必考内容,以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型,所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要,本讲就如何判定三角形相似,以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似
例1、如图:点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则△AGD∽△EGC ∽△EAB 。
分析:关键在找“角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2,所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2(对顶角),由AB∥DG可得∠4=∠G,所以△EGC∽△EAB。
评注:(1)证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。(2)找到两个三角形中有两对角对应相等,便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线,
求证:△ABC∽△BCD
分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C是公共角,而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。
证明:∵∠A=36°,△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=72°
又BD平分∠ABC,则∠DBC=36°
在△ABC和△BCD中,∠C为公共角,∠A=∠DBC=36°
∴△ABC∽△BCD
例3:已知,如图,D为△ABC内一点连结ED、AD,以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD
求证:△DBE∽△ABC
分析: 由已知条件∠ABD=∠CBE,∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC,要证的△DBE和△ABC,有一对角相等,要证两个三角形相似,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决。
证明:在△CBE和△ABD中,
∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD
∴△CBE∽△ABD
∴=
即:=
在△DBE和△ABC中
∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用
∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC
∴∠DBE=∠ABC
且=
∴△DBE∽△ABC
例4、矩形ABCD中,BC=3AB,E、F,是BC边的三等分点,连结AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形?请证明你的结论。
分析:本题要找出相似三角形,那么如何寻找相似三角形呢?下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:
如图:称为“平行线型”的相似三角形
(2)如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
(3)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形,如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形,及△EAF与△ECA
解:设AB=a,则BE=EF=FC=3a,
由勾股定理可求得AE=,
在△EAF与△ECA中,∠AEF为公共角,且
所以△EAF∽△ECA(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
注:以上两例中都用了相似三角形的判定定理2,该定理的灵活应用是教学上的难点所在,应注重加强训练。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例1、△ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证:DF
AC=BCFE
分析:证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF:FE=BC:AC,再利用相似三角形或平行线的性质进行证明:
证明:过D点作DK∥AB,交BC于K,
∵DK∥AB,∴DF:FE=BK:BE
又∵AD=BE,∴DF:FE=BK:AD,而BK:AD=BC:AC
即DF:FE= BC:AC,∴DFAC=BCFE
例2:已知:如图,在△ABC中,∠BAC=900,M是BC的中点,DM⊥BC于点E,交BA的延长线于点D。
求证:(1)MA2=MDME;(2)
证明:(1)∵∠BAC=900,M是BC的中点,
∴MA=MC,∠1=∠C,
∵DM⊥BC,
∴∠C=∠D=900-∠B,
∴∠1=∠D,
∵∠2=∠2,
∴△MAE∽△MDA,
∴,
∴MA2=MDME,
(2)∵△MAE∽△MDA,
∴,
∴
评注:(1)通过一对相似三角形来证明比例线段,是证比例线段的一种基本方法。本