文档介绍：设均为实维列向量,为实对称矩阵.
1)若半正定,则;
2)若正定,则.
略证设欧氏空间中的两向量的内积为,那么柯西(Cauchy)不等式为
.
1)若半正定,则存在(阶实方阵)使,由,则有
.
2)若正定,则存在(阶可逆阵)使,则有
.
问题设,证明:.
略证取,由柯西(Cauchy)不等式则
,
已知为阶实对称矩阵,是的特征值,
.
略证记,则为正交阵,
.
证明:不存在正交阵,使得.
详证(反证)假设存在正交矩阵,使得
,
由于可逆,
,
,
.
因此,,矛盾,得证.
设均为正交阵,且证明:.
略证由于均为正交阵,则亦为正交阵,由条件则
,
说明所对应的正交变换必为第二类正交变换,则它一定有特征值,则
,
而,则,那么,所以.
问题1 设为正交阵,且,证明:存在实数,使得
.
略证设矩阵的三个特征值分别为,则其特征多项式为
,
由于,且为正交阵,则它必有特征值1(补充题2),不妨设,那么
,
记,由彼此共轭,且模,则,利用
Hamilton-Caylay定理,所以.
问题2 设为矩阵,已知,证明:可逆.
提示利用化零多项式,特征值使得,令
,则,所以可逆.
(或者因为,则,则).
问题3 设为实对称矩阵,证明:是正定矩阵.
略证存在正交矩阵,使得,那么
,
由于,因此实对称阵正定.
问题4 设为维欧氏空间,是对称变换,
证明:,均有.
略证取的标准正交基,设,且,则为实对称矩阵,
,,
所以.
设为实矩阵,.证明:存在正交阵,其中为矩阵,使得
.
其中表示的列向量组所生成的线性子空间.
详证记,,可设为的列向量组的一个极大线无关组,则
.
将作施密特正交化得标准正交向量组, 由施密特正交化过程,则
.
将扩充为的一组标准正交基,并记
,,
则为正交阵,且使
.
设为实矩阵,证明:必存在可逆实矩阵使,其中.
详证由,则存在可逆阵使(矩阵可通过初等列变换化成纵向的阶梯形,阶梯高度为),其中线性无关,通过施密特正交化,则可得到一组单位正交向量组使得
,
其中为可逆上三角矩阵,那么有
,
所以存在可逆矩阵使得
,
那么
,
记(可逆矩阵),,则必有
.
设为维欧氏空间,是的两子空间,:必存在
,使.
略证设,,那么
.
记,利用维数公式,则有
.
因此,从而存在,得证.
设是有限维欧氏空间,为内积,为正交变换,记
,.
证明:.
详证首先证明:.,则存在,使
.
因此
,
所以,则,说明为直和.
其次,由于
,
.
则,所以,得.
设为有限维欧氏空间,为的子空间,(或***影),即
.
证明: 1)为线性变换;
2),且为对称变换.
详证 1),,则
,
那么
=;
,则,那么
.
因此为线性变换.
2)如1),那么
,
因此;也有
,
所以也为对称变换.
设为维欧氏空间,为线性变换,为变换使得
.
证明: 1)为线性变换;
2).
详证 1).则有:
,
由的任意性,则有
,
所以为线性变换.
2),则存在,使,那么
,
则,即,所以
;
,则有
,
由的任意性,则有,那么,所以
.
得证.
问题设为维欧氏空间的对称变换,证明:.
详证取的一组正交基,,则存在,使
,那么
.
则,,即,则,所以.
又由于
,,
因此,所以.
设为级实对称矩阵,,证明:若均为半正定矩阵,则亦为半正定矩阵.
略证由于为实对称矩阵,则亦为实对称矩阵. 又半正定,则存在(实矩阵)使得,所以.
由于
,
但半正定,其特征值均非负, 且与有相同的特征多项式(),则的特征值也全非负,所以半正定.
设为阶半正定矩阵,:存在半正定矩阵使得.
略证由于半正定,则存在正交阵使
,其中特征值.
对于和任意正整数,则存在使,所以
.
问题设为阶正定矩阵,.
提示由于正定,则存在正定矩阵使得,则,即得,说明矩阵是正交矩阵,因此,得证.
问题已知为阶正定阵,证明:必存在唯一的正定阵,使得.
设阶正定阵,:的特征值为实数.
略证设,其中,由于正定,则存在且正定,则
,
那么
,