文档介绍：等比数列知识点总结与典型例题
1、等比数列的定义:,称为公比
2、通项公式:
,首项:;公比:
推广:
3、等比中项:
(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即:或
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(
(2)数列是等比数列
4、等比数列的前项和公式:
(1)当时,
(2)当时,
(为常数)
5、等比数列的判定方法:
(1)用定义:对任意的,都有为等比数列
(2)等比中项:为等比数列
(3)通项公式:为等比数列
6、等比数列的证明方法:
依据定义:若或为等比数列
7、等比数列的性质:
(2)对任何,在等比数列中,有。
(3)若,则。特别的,当时,得注:
等差和等比数列比较:
等差数列
等比数列
定义
递推公式
;
;
通项公式
()
中项
()
()
前项和
重要
性质
经典例题透析
类型一:等比数列的通项公式
,, ,求.
思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.
解析:
法一:设此数列公比为,则
由(2)得:..........(3)
∴.
由(1)得: , ∴......(4)
(3)÷(4)得:,
∴,解得或
当时,,;
当时,,.
法二:∵,又,
∴、为方程的两实数根,
∴或
∵, ∴或.
总结升华:
①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;
②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).
举一反三:
【变式1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。
【答案】±96
法一:设公比为q,则768=a1q8,q8=256,∴q=±2,∴a6=±96;
法二:a52=a1a9a5=±48q=±2,∴a6=±96。
【变式2】{an}为等比数列,an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。
【答案】64;
∵,又an>0,∴a45=4
∴。
【变式3】已知等比数列,若,,求。
【答案】或;
法一:∵,∴,∴
从而解之得,或,
当时,;当时,。
故或。
法二:由等比数列的定义知,
代入已知得
将代入(1)得,
解得或
由(2)得或,以下同方法一。
类型二:等比数列的前n项和公式
{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.
解析:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.
因a1≠0,得S3+S6≠2S9,显然q=1与题设矛盾,故q≠1.
由得,,
整理得q3(2q6-q3-1)=0,
由q≠0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,
因q3≠1,故,所以。
举一反三:
【变式1】求等比数列的前6项和。
【答案】;
∵,,
∴。
【变式2】已知:{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.
【答案】;
∵,,则a1=1或a1=9
∴.
【变式3】在等比数列中,,,,求和。
【答案】或2,;
∵,∴
解方程组,得或
①将代入,得,
由,解得;
②将代入,得,
由,解得。
∴或2,。
类型三:等比数列的性质
例3. 等比数列中,若,求.
解析:
∵是等比数列,∴
∴
举一反三:
【变式1】正项等比数列中,若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________.
【答案】100;
∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg(a1·a2·a3·……·a100)
而a1·a100=a2·a99=a3·a98=……=a50·a51
∴原式=lg(a1·a100)50=50lg(a1·a100)=50×lg100=100。
【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________。
【答案】216;
法一:设这个等比数列为,其公比为,
∵,,∴,
∴。
法二:设这个等比数列为,公比为,则,,
加入的三项分别为,,,
由题意,,也成等比数列,∴,故,
∴。
类型四:等比数列前n项和公式的性质
,已知,,求。
思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,……,第n个k项和仍然成等比数列。
解析:
法一:令b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n