文档介绍：第三章插值法和最小二乘法
§ 三次样条插值
§ 三次样条插值
什么是样条: 是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘
出光滑的外形曲线(放样)所用的工具
样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线
在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的
1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数
一、三次样条插值函数
定义1.
a £ x0 , x1 ,L,xn £ b为区间[a,b]的一个分割
如果函数S(x)在区间[a,b]上满足条件:
(1) S(x), S¢(x),S¢¢(x)都在区间[a,b]上连续,即S(x)ÎC 2[a,b]
(2) S(x)在每个小区间[xk , xk +1 ]上都是三次多项式
则称 S(x)为区间[a,b]上的三次样条函数
(3) 如果函数f (x)在节点x0 ,x1 ,L, xn处的函数值为
f (x j ) = y j , j = 0,1,L,n
而三次样条函数S(x)满足
S(x j ) = y j , j = 0,1,L,n ------(1)
则称S(x)为f (x)在[a,b]上的三次样条插值函数
二、三次样条插值多项式
a £ x0 , x1 ,L,xn £ b为区间[a,b]的一个分割
如果函数f (x)在节点x0 ,x1 ,L, xn处的函数值为
f (x j ) = y j , j = 0,1,L,n
如果S(x)是f (x)的三次样条插值函数,则其必满足
S(x ) = y , j = 0,1,L,n
ì j j
S x = S x = y j = L n ­
ï lim ( ) ( j ) j , 1, , 1
x®x j
í ------(2)
lim S¢(x) = S¢(x j ) = m j , j = 1,L,n ­ 1
ï x®x j
îï
lim S¢¢(x) = S¢¢(x j ), j = 1,L,n ­ 1
x®x j
S(x)要满足上述四组(共4n ­ 2个)条件
S x x Î x x
ì 0( ) [ 0 , 1 ]
S(x)在[a,b]上必ï
ï S1(x) x Î[x1 ,x2 ]
然是分段函数即 S(x) = í ------(3)
, ï M M
ï
î Sn­1(x) x Î[xn­1 , xn ]
Sk (x)是[xk ,xk +1 ]上的(两点)三次样条插值多项式,满足
Sk (x j ) = y j L
ì k = 0,1,2, , n ­1; j = k,k +1
lim S (x) = lim S (x)
ï + k ­ k ­1
ï x®xk x®xk ------(4)
í S¢ x = S¢ x k = 1,2,L,n ­ 1
lim+ k ( ) lim­ k ­1( )
ï x®xk x®xk
ï lim S¢¢(x) = lim S¢¢ (x) 共4n ­ 2个条件
î + k ­ k ­1
x®xk x®xk
Sk (x)是[xk ,xk +1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数
即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数少两个条件
并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制
也要对插值多项式在两端点的状态加以要求
也就是所谓的边界条件:
第一类(一阶)边界条件: S¢(x0 ) = f0¢ S¢(xn ) = f n¢ ------(5)
¢¢ ¢¢
第二类(二阶)边界条件 S (x0 ) = f0 S¢¢(xn ) = fn¢¢ ------(6)
S ( p) x = S ( p) x
第三类(周期)边界条件 lim+ 0 ( ) lim­ n­1( )
x®x0 x®xn ------(7)
p = 0,1,2
一般使用第一、二类边界条件, 常用第二类边界条件
加上任何一类边界条件(至少两个)后
确定S(x)必须确定4n个待定的系数的条件正好也是4n个
S (x ) = y k = 0,1,L,n ­1; j = k, k +1
即ì k j j
S x = S x k = L n ­
lim+ k ( ) lim­ k ­1( ) 1,2, , 1
ï x®xk x®xk
ï ------(8)
lim Sk¢(x) = lim Sk¢ ­1(x) = mk k = 1,2,L,n ­ 1
í x®x + x®x ­
k k
ï lim S¢¢(x) = lim S¢