文档介绍：解析几何“降龙十八掌”
湖北省汉川一中周实忠
一、先从几年的高考题看看解析几何高考题的变化趋势。
1、近3年湖北高考解析几何题分析:
真题
分析
2014湖北理科
,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A )
A. B.
基本运算
,但有较强综合性。
,则_____2___.
基本运算
,但要转化。
(满分14分)在平面直角坐标系中,点M到点的距离比它到轴的距离多1,记点M的轨迹为C.
求轨迹为C的方程
设斜率为k的直线过定点,求直线与轨迹C恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k的相应取值范围。
(21)解:
(I)设点,依题意,,即,
整理的,
所以点的轨迹的方程为.
(II)在点的轨迹中,记,,
依题意,设直线的方程为,
由方程组得①
当时,此时,把代入轨迹的方程得,
与往年相比,难度有所下降
。
但求轨迹为C的方程易受抛物线定义影响出错
。第
(II)问回归曲线交点个数这一课本常规问题,方法是熟的,但考分类讨论能力要求较高
。
所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.
当时,方程①的判别式为②
设直线与轴的交点为,则由,令,得③
(i)若,由②③解得或.
即当时,直线与没有公共点,与有一个公共点,
故此时直线与轨迹恰有一个公共点.
(ii)若或,由②③解得或,
即当时,直线与有一个共点,与有一个公共点.
当时,直线与有两个共点,与没有公共点.
故当时,故此时直线与轨迹恰有两个公共点.
(iii)若,由②③解得或,
即当时,直线与有两个共点,与有一个公共点.
故此时直线与轨迹恰有三个公共点.
综上所述,当时直线与轨迹恰有一个公共点;
当时,故此时直线与轨迹恰有两个公共点;
当时,故此时直线与轨迹恰有三个公共点.
2013年湖北理科
,则双曲线
基本运算,
综合考三角预算。
( D )
21.(本小题满分13分)
如图,已知椭圆长轴均为短轴长分别为过原点且不与轴重合的直线与从大到小依次为记
(I)当直线与轴重合时,若
(II)当变化时,是否存在于坐标轴不重合的直线,使得
解:
依题意可设椭圆和的方程分别为
:,:. 其中,
(Ⅰ)解法1:如图1,若直线与轴重合,即直线的方程为,则
,,所以.
在C1和C2的方程中分别令,可得,,,
于是.
若,则,化简得. 由,可解得.
故当直线与轴重合时,若,则.
(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性,
不妨设直线:,
点,到直线的距离分别为,,则
因为,,所以.
解题策略明显,入手也较易。但条件
需转化。
第(II)问的转化更进一层,要把“是否存在于坐标轴不重合的直线”的“形”转化为斜率K有解的“数”的问题。
又,,所以,即.
由对称性可知,所以,
,于是
. ①
将的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得
,.
根据对称性可知,,于是
. ②
从而由①和②式可得
. ③
令,则由,可得,于是由③可解得.
因为