文档介绍：第四章数值积分与数值微分
§ 复合求积法
§ 复合求积法
当积分区间[a,b]的长度较大,而节点个数n + 1固定时
直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大
而如果增加节点个数,即n + 1增加时
公式的舍入误差又很难得到控制
为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法
即将积分区间[a,b]分成若干个子区间
然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式
最后将每个小区间上的积分的近似值相加
一、复合求积公式
b
将定积分 f (x)dx的积分区间[a,b]分割为n等份
òa
b ­ a
各节点为 xk = a + kh , k = 0,1,L,n h =
n
在子区间[xk , xk +1 ](k = 0,1,L,n ­ 1)上使用Newton ­ Cotes公式
h
将[x , x ]分割为l等份,步长为,节点为
k k + 1 l
h 2h lh
x , x + , x + ,L, x + = x
k k l k l k l k +1
记为 xk , x 1 , x 2 , L, x l = xk +1
k+ k+ k +
l l l
在[xk , xk +1 ]上作f (x)的l阶Newton ­ Cotes求积公式
l
xk+1
f (x)dx »I (k ) = (x ­ x ) C(l) f (x )
òx l k +1 k å i i
k k +
i=0 l
l
(l )
= h Ci f (x i )
å k +
i=0 l
由积分的区间可加性,可得
n­1
b xk +1
f (x)dx = f (x)dx
òa åòx
k =0 k
n ­1 n­1 l
(k ) (l )
» I = h Ci f (x i ) = I
复合求积公式å l åå k + n
k =0 k =0 i=0 l
l = 1时,可得复合梯形求积公式
b n­1 1
(1)
f (x)dx » Tn = h C f x
òa åå i ( k +i )
k =0 i=0
n­1 1
= hå [ f (xk ) + f (xk + 1 )]
k =0 2
n­1
复合梯形公式 b ­ a
Tn = [ f (a) + 2å f (xk ) + f (b)]
2n k =1
l = 2时,可得复合Simpson求积公式
b n­1 2
(2 )
f (x)dx » Sn = h Ci f (x i )
òa åå k +
k =0 i=0 2
b n­1 1
f (x)dx »Sn = h [ f (xk ) + 4 f (x 1 ) + f (xk +1 )]
òa å k +
k =0 6 2
n­1 n­1
复合Simpson公式 b ­ a
= [ f (a) + 4 f (x 1 ) + 2 f (xk ) + f (b)]
复合抛物线公式å k + å
6n k =0 2 k =1
l = 4时,可得复合Cotes求积公式
复合Cotes公式
b n­1 4
(4)
f (x)dx » Cn = h Ci f (x i )
òa åå k +
k =0 i=0 4
h n­1
= [7 f (xk ) + 32 f (x 1 ) + 12 f (x 2 ) + 32 f (x 3 ) + 7 f (xk +1 )]
å k + k + k +
90 k =0 4 4 4
b ­ a n­1 n­1
= [7 f (a) + [32 f (x 1 ) + 12 f (x 2 ) + 32 f (x 3 )] +14 f (xk ) + 7 f (b)]
å k + k+ k + å
90n k =0 4 4 4 k =1
(b ­ a)
T = [ f (a) + f (b)]
2 复合梯形公式分解
(0) h
[x , x ] T = [ f (a) + f (x1 )]
0 1 2
(1) h
[x1 , x2 ] T = [ f (x1 ) + f (x2 )]
2
x x (2) h
[ 2 , 3 ] T = [ f (x ) + f (x )]
2 2 3
(3) h
[x3 , x4 ] T = [ f (x ) + f (x )]
2 3 4
(n­2) h