文档介绍：椭圆与双曲线的性质
椭圆
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.
若在椭圆外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.
椭圆(a>b>0)的焦半径公式:
,( , ).
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,
即。
若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是.
若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.
双曲线
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)
若在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是.
若在双曲线(a>0,b>0)外,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
双曲线(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点,则双曲线的焦点角形的面积为.
双曲线(a>0,b>o)的焦半径公式:( ,
当在右支上时,,.
当在左支上时,,
设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.
过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。
若在双曲线(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是.
若在双曲线(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
椭圆
椭圆(a>b>o)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
过椭圆(a>0, b>0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且
(常数).
若P为椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则.
设椭圆(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记, ,,则有.
若椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
P为椭圆(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.
椭圆与直线有公共点的充要条件是.
已知椭圆(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是.
过椭圆(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.
已知椭圆( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.
设P点是椭圆( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .
设A、B是椭圆( a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,, ,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3) .
已知椭圆( a>b>0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注