文档介绍：概率论与数理统计习题及答案
习题一
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(1) 掷一颗骰子,出现奇数点.
(2) 掷二颗骰子,
A=“出现点数之和为奇数,且恰好其中有一个1点.”
B=“出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点.”
(3)将一枚硬币抛两次,
A=“第一次出现正面.”
B=“至少有一次出现正面.”
C=“两次出现同一面.”
【解】
,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:
(1) A发生,B,C都不发生;
(2) A与B发生,C不发生;
(3) A,B,C都发生;
(4) A,B,C至少有一个发生;
(5) A,B,C都不发生;
(6) A,B,C不都发生;
(7) A,B,C至多有2个发生;
(8) A,B,C至少有2个发生.
【解】(1) A (2) AB (3) ABC
(4) A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=
(5) = (6)
(7) BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪
(8) AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC
,B为随机事件,且P(A)=,P(A-B)=,求P().
【解】 P()=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]
=1-[-]=
,B是两事件,且P(A)=,P(B)=,求:
(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值?
(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值?
【解】(1) 当AB=A时,P(AB).
(2) 当A∪B=Ω时,P(AB).
9.对一个五人学习小组考虑生日问题:
(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率;
(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】(1) 设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故
P(A1)==()5 (亦可用独立性求解,下同)
(2) 设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故
P(A2)==()5
(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P(A3)=1-P(A1)=1-()5
10. 从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件,求其中恰有一件次品的概率.
【解】与次序无关,,,所以从45个正品中取2个,共种取法;从5个次品中取1个,共种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为种,所以所求概率为.
,(n<N).试求其中恰有m件(m≤M)正品(记为
A):
(1) n件是同时取出的;
(2) n件是无放回逐件取出的;
(3) n件是有放回逐件取出的.
【解】(1) P(A)=
(2) 由于是无放回逐件取出,,,从M件正品中取m件的排列数有种,从N-M件次品中取n-m件的排列数为种,故
P(A)=
由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成
P(A)=
可以看出,用第二种方法简便得多.
(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为Nn种,n次抽取中有m次为正品的组合数为种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m次取得正品,都有M种取法,共有Mm种取法,n-m次取得次品,每次都有N-M种取法,共有(N-M)n-m种取法,故
此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为,则取得m件正品的概率为
12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,,?
【解】设A={发生一个部件强度太弱}
13.一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.
【解】设Ai={恰有i个白球}(i=2,3),显然A2与A3互斥.
故
14.有甲、乙两批种子,,在两批种子中各随机取一粒,求:
(1) 两粒都发芽的概率;
(2) 至少有一粒发芽的概率;
(3) 恰有一粒发芽的概率.
【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽},(i=1,2)
(1)
(2)
(3)
15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止