文档介绍：第三讲傅立叶变换
一、傅立叶级数
二、傅立叶变换
一、傅立叶级数 1、定义
周期为2π
周期为2π的函数g(θ),若在一个周期内只有有限个极值点和不连续点,并且在一个周期内绝对可积,则它可以展成傅里叶三角级数:
其中:
一、傅立叶级数 1、定义
周期为T
周期为T的函数将它展开成傅立叶三角级数时展开式,只是要根据对应关系将θ换算成x,它们之间的换算关系是,所以有
其中:
一、傅立叶级数 1、定义 2、举例
有一缝宽和缝距相等的矩形光栅,振幅透过率为:
其中,m为整数,将它展开成傅立叶三角级数。函数图形如下所示:
解:
其中k=0,1,2,…。于是:
取前五项:
绘图如下:
一、傅立叶级数 1、定义 2、举例
一、傅立叶级数 1、定义 2、举例
一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式
指数形式
通过欧拉公式,把正弦函数、余弦函数和指数函数联系起来,不难证明傅里叶三角级数可以写成指数级数的形式。
若g(x)的周期为T,在一个周期内只有有限个极值点和不连续点,并且在一个周期内绝对可积。则g(x)可以展开成傅立叶指数级数:
其中:
一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式
证明如下:取n为任一正整数
一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式
即:
得证。
事实上周期函数只是数学上的描述,对于一切物理过程严格来说都是非周期的。有些物理过程可以用周期函数来近似描述,象前面介绍的矩形光栅的例子,只有当光栅常数d比光栅总宽度小得多的时,也就是总缝数很大时才可以用周期函数来描写这种光栅,当然这种描写仍是近似的。还有相当多的物理现象,只发生在有限的空间范围和时间间隔内,这样的现象对于空间和时间来说是非周期的。对于大量非周期函数的展开,首先可以以它有非零值的范围(空间范围或时间间隔)为周
期,将它延拓成为周期函数。右
图中g(x)为非周期函数:
一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式 二、傅立叶变换 1、导出