文档介绍：一、一般来说,对于二阶、三阶行列式,可以根据定义来做
1、二阶行列式
2、三阶行列式
=
例1计算三阶行列式
解
但是对于四阶或者以上的行列式,不建议采用定义,最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。
计算上三角形行列式
下三角形行列式
对角行列式
二、用行列式的性质计算
1、记住性质,这是计算行列式的前提
将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为或,即若
则.
性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即
注由性质1知道,行列式中的行与列具有相同的地位,行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.
性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.
性质3 用数乘行列式的某一行(列), 等于用数乘此行列式, 即
第行(列)乘以,记为(或).
推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.
性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,
.
则
.
性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.
注: 以数乘第行加到第行上,记作; 以数乘第列加到第列上,记作.
2、利用“三角化”计算行列式
计算行列式时,常用行列式的性质,把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:
如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;
再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
例2若, 则
例3(1)(第一、二行互换).
(2)(第二、三列互换)
(3)(第一、二两行相等)
(4)(第二、三列相等)
例4(1)因为第三行是第一行的倍.
(2)因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.
例5若, 则
又.
例6 设求
解利用行列式性质,有
例7(1)
(2).
例8 因为而.
因此.
注: 一般来说下式是不成立的
.
例9(1),上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.
(2),上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.
例10计算行列式.
解先将第一行的公因子3提出来:
再计算
例11 计算
解
例12计算
,3,4行同时加到第1行,可提出公因子6,再由各行减去第一行化为上三角形行列式.
注:仿照上述方法可得到更一般的结果:
例13 计算
解根据行列式的特点,可将第1列加至第2列,然后将第2列加至第3列,再将第3列加至第4列,目的是使中的零元素增多.
例14 计算
解从第4行开始,后一行减前一行:
三、行列式按行(列)展开(降阶法)
1、行列式按一行(列)展开
定义1 在阶行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的阶行列式,称为中元素的余子式, 记为, 再记
称为元素的代数余子式.
引理(常用) 一个n阶行列式D , 若其中第i行所有元素除外都为零,则该行列式等于与它的代数余子式的乘积,即
定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即
或
推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即
或
2、用降价法计算行列式(常用)
直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时,一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.
3、拉普拉斯定理(一般少用)
定义2 在阶行列式中,任意选定行列, 位于这些行和列交叉处的个元素,按原来顺序构成一个阶行列式, 称为的一个阶子式,划去这行列, 余下的元素按原来的顺序构成阶行列式,在其前面冠以符号,称为的代数余子式,其中为阶子式在中的行标,为在中的列标.
注:行列式的阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行(列)展开的性质.
定理2 (拉普拉斯定理) 在阶行列式中, 任意取定行(列),由这行(列)组成的所有阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式.
例15求下列行列式的值:
(1) (2)
解(1)
(2)
例16计算