文档介绍：§ 正弦定理
学****目标
1. 掌握正弦定理的内容;
2. 掌握正弦定理的证明方法;
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.
学****过程
一、课前准备
试验:固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶点C转动.
思考:C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?
显然,?
二、新课导学
※学****探究
探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,
根据锐角三角函数中正弦函数的定义,
有,,又,
从而在直角三角形ABC中,.
(
探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,
有CD=,则,
同理可得,
从而.
类似可推出,当ABC是钝角三角形时,.
新知:正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的的比相等,即
.
试试:
(1)在中,一定成立的等式是( ).
A. B.
C. D.
(2)已知△ABC中,a=4,b=8,∠A=30°,则∠B等于.
[理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使, ,;
(2)等价于,,.
(3)正弦定理的基本作用为:
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如; .
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,
如; .
(4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形.
※典型例题
例1. 在中,已知,,cm,解三角形.
变式:在中,已知,,cm,解三角形.
例2. 在.
变式:在.
三、总结提升
※学****小结
1. 正弦定理:
2. 正弦定理的证明方法:①三角函数的定义,
还有②等积法,③外接圆法,④向量法.
:
①已知两角和一边;
②已知两边和其中一边的对角.
※知识拓展
,其中为外接圆直径.
学****评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※当堂检测(时量:5分钟满分:10分)计分:
1. 在中,若,则是( ).
2. 已知△ABC中,A∶B∶C=1∶1∶4,
则a∶b∶c等于( ).
∶1∶4 ∶1∶2 ∶1∶ ∶2∶
3. 在△ABC中,若,则与的大小关系为( ).
A. B.
C. ≥ D. 、的大小关系不能确定
4. 已知ABC中,,则= .
5. 已知ABC中,A,,则
= .
课后作业
1. 已知△ABC中,AB=6,∠A=30°,∠B=,解此三角形.
2. 已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k (k≠0),求实数k的取值范围为.
§ 余弦定理
学****目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式;
2. 证明余弦定理的向量方法;
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
学****过程
一、课前准备
复****1:在一个三角形中,各和它所对角的的相等,即= = .
复****2:在△ABC中,已知,A=45°,C=30°,解此三角形.
思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?
二、新课导学
※探究新知
问题:在中,、、的长分别为、、.
∵,
∴
同理可得: ,
.
新知:余弦定理:三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍.
思考:这个式子中有几个量?
从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?
从余弦定理,又可得到以下推论:
, ,
.
[理解定理]
(1)若C=,则,这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
(2)余弦定理及其推论的基本作用为:
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;
②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
试试:
(1)△ABC中,,,,求.
(2)△ABC中,,,,求.
※典型例题
例1. 在△ABC中,已知,,,求和.
变式:在△ABC中,若AB=,AC=5,且cosC=,则BC=________.
例2. 在△ABC中,已知三边长,,,求三角形的最大内角.