文档介绍：股票指数期权、外汇期权和期货期权
【学****目标】本章的主要学****目标是掌握股票指数期权、外汇期权和期货期权的定价原理。我们把这三种期权放在一起讨论是因为它们的定价原理相同,三种期权的标的资产都可以看成是支付连续红利的资产。对股票指数而言,它的红利是指数所含股票的红利总和,对外汇而言,可以把外汇的利率看成红利,而对期货而言,可以将融资成本和标的资产的储存成本看成红利。
我们还要深入理解各种期权定价模型在本章中的运用。因为股票指数期权、外汇期权和期货期权的标的资产都可以看成是支付连续红利的资产,因此可以用默顿(Merton)模型直接为这三种资产的欧式期权定价。同样,二叉树模型也可以直接应用,二叉树模型还可以直接用来为美式期权定价。
第一节欧式股票指数期权、外汇期权和期货期权的定价
默顿(Merton)模型是B-S(Black-Scholes)模型的扩展,可以用来为支付连续复利红利的资产的欧式期权定价。
一、默顿模型
默顿模型通过将股票所支付的连续复利的红利看成负的利率来扩展B-S模型。在前面的章节里,我们证明了红利的支付会降低看涨期权的价值,因为红利会降低期权标的股票的价值。实际上,连续红利支付意味着股票价值的连续漏损,令表示漏损率,它等于红利的支付率。因此,我们只要将代替式()和()中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。根据默顿模型,标的股票支付连续红利的欧式看涨期权的价值为
由于
因此,、分别为:
()
从中可以看出,默顿模型将标准的B-S模型中的换成了
()
依据默顿模型得出的欧式看跌期权价值为
()
当=0时,默顿模型就转化为B-S模型。
二、股票指数期权
默顿模型也可以用来给股票指数期权定价。股票指数综合反映了一系列股票的表现,我们可以将股票指数看成是一个股票组合,每期都可能有一部分股票支付红利。因为我们是给以一个组合为标的的期权定价,所以我们关心的只是组合的红利支付,几乎所有的股票都只是按期支付离散的红利,不过股票指数中包含了众多的股票,因此假设股票指数支付连续红利是比较接近现实的,而且指数所含股票越多,这个假设就越合理。
为了解释默顿模型在股票指数期权定价上的运用,我们用一个例子来进行说明。
,,无风险利率是8%,指数的连续红利支付率是4%。,那么,=4%,。
从而
因此,期权价值为
三、外汇期权
我们现在考察默顿模型在外汇期权定价中的运用,我们站在美国期权交易者的角度来看这个问题,此时外汇汇率(直接标价)成了,外汇的利息可以看成红利,公式中的标准差是标的资产价格即外汇汇率的标准差。
考虑一个英镑的欧式看涨期权和欧式看跌期权。英镑目前的汇率是$,,英国目前的无风险利率为12%,而美国的是8%,看涨期权和看跌期权的执行价价格都为$,有效期都是200天。
根据默顿模型,可以计算得到看涨期权价值为$,看跌期权价值为$。
四、期货期权
假设有一种类似黄金的资产,这种资产的存货相对于消费很大,而且容易保存,该资产生产的季节性不明显,消费的季节性也不明显,而且这种资产可以卖空。当这些条件都满足时,以该资产为标的的期货的理论价格为
()
如果这个等式不成立,就会有无风险的套利机会存在。一般而言,所有的贵金属(金、银和铂等)和所有的金融工具(股票和债券等)都满足这个关系。
从默顿模型的角度来看,资产即期价格的增长率r,取代了,期货价格取代了()中的股票价格。也就是说,对于可以纳入持有成本模型的资产,它的期权定价可以将默顿模型中的
用r来取代进行,即令=r即可,这样处理使得期货期权的定价十分简单。因此,欧式期货看涨期权和欧式期货看跌期权的价值分别为
其中,
()
式()中的标准差是指期货价格的标准差。
假设有一个有效期为一年的股票指数期货的欧式期权,,无风险利率为7%,因此,根据持有成本模型,期货价格应该为:
,,那么
因此,期权价格为
五、期货期权和现货期权
有些资产,例如外汇,既有以它的现货为标的的期权交易,同时也有它的期货为标的的期权交易,这两种期权的区别关键取决于期权是欧式的还是美式的。
在期货合约到期的时候,期货价格必须与现货价格相等,只有这样市场上才不会存在套利机会。例如,在黄金市场上,如果现货价格为$400/盎司,