文档介绍：一、数列的概念
:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数称为该数列的项,记作an。排在第一位的项叫第一项(或首项),排在第二位的项叫第二项......,排在第n位的项叫第n项。
数列的一般形式:a1,a2,a3,.....,an,....简记为。
注意:⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”。因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列。
⑵在数列中同一个数可以重复出现。
⑶项an与项数n是两个根本不同的概念。
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列。
例:判断下列各组元素能否构成数列
(1)a,-3,-1, 1,b,5,7,9
(2)2010年各省参加高考的考生人数。
通项公式:如果数列的第项与序号n之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即.
例:(1)1,2,3,4,5,...
(2)1,,,,,...
注意:(1){an}表示数列,an表示数列中的第n项,表示数列的通项公式。
(2)同一个数列的通项公式的形式不一定唯一,例如:
(3)不是每一个数列都有通项公式。例如:1, , , ,.....
递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项),且任何一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即或,那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中,,其中
是数列的递推公式.
例:a1=1,an=2an-1+1(n>1)
a2=2a1+1=3
a3=2a2+1=7
①; ②.
例:已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+3,求数列{an}的通项公式。
例:已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为 15
5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法。
6. 数列的分类:(1)按数列项数是有限还是无限分:有穷数列,无穷数列;
(2)按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列,递减数列),摆动数列,常数数列。
例:(1)1,2,3,4,5,6,..... (2)10,9,8,7,6,.....
(3)1,0,1,0,1,0,..... (4)a,a,a,a,a,......
练习:
1、已知an=3n2-28n,则在数列的最小项为第5项
2、数列中,,且是递增数列,实数的取值范围(-3,+∞)
3、数列的前n项和Sn=n2-4n+1,则通项公式为.
二、等差数列
等差数列的定义:如果数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差(用字母d表示)。即.(或)。
例:等差数列an=2n-1,an-an-1= 2
等差数列的通项公式:或。公式变形为:. 其中a=d, b= -d.
变式:a1=an-(n-1)d
d=
d= 特征:an=dn+(a1-d),即an=kn+m(k,m为常数),是数列成等差数列的充要条件。
例:等差数列中,,,则通项.
例:等差数列中,a3+a8=22,a6=7,则a5= 15 .
例:是首项=1,公差d=3的等差数列,如果an=2005,则n= 669 .
等差中项:若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且,a,A,b成等差数列是2A=a+b的充要条件,即,
例:是公差为正数的等差数列,若,,则 105
例:等差数列中,,则的值为 16
例:等差数列中,,则前 10或11 项的和最大。
等差数列的前项和:,。
公式变形为:
即,其中,B=.
例:如果等差数列中,,那么 28
例:数列中,,,前n项和,则= -3 ,= 10 .
例:设是等差数列的前n项和,已知,则 49 .
注意:(1)等差数列的通项公式及前项和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);偶数个数成等差,可设为…,,…(公差为2)
5、等差数列的性质:
(1)在等差数列中,从第二项起,每一项是它相邻二项的等差中项;
(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;
(3)在等差数列中,;
(4)在等差数列中,当时,则有,特别地,当时,则有.
例:在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11= 88
例:已知等差数列{an}的前n项和为,