文档介绍：第3讲导数与微分
高等数学基础课程的主要研究对象是函数,函数是变量之间的对应关系,怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。
导数的概念
一、函数的变化率
对于函数,我们要研究怎样随变化,进一步我们还要研究变化的速率,可以先看看下面这个图
我们可以看出,对于相同的自变量的改变量,所对应的函数改变量是不同的。可以表示变化的速率,但这是一个平均速率,怎样考虑函数在一点的变化率呢?
二、导数的概念
根据前面的介绍,我们给出下面的定义。
设函数在点及其某个邻域内有定义,对应于自变量在处的改变量,函数相应的改变量为,如果当时极限
存在,则此极限值称为函数在点处的导数,或在点处函数关于自变量的变化率,记作
,或
这时,称函数在点处是可导的。
根据导数定义,我们来求一些基本初等函数的导数。
例1 根据导数定义求在点处的导数。
解根据定义求导数通常分三步:
(Ⅰ)求:
(Ⅱ)求:
(Ⅲ)求:
因此得出。
如果函数在其定义域内每一点都可导,那么我们就得到了一个新的函数,称为的导函数。在点的函数值就是在点的导数。
例2 根据导数定义求在点处的导数。
解按照由定义求导数的步骤:
因此得出。
例3 根据导数定义求(为自然数)在点处的导数。
解按照由定义求导数的步骤:
因此得出。
可以看出上例的结果与本例的结果是一致的。
例4 根据导数定义求在点处的导数。
解按照由定义求导数的步骤:
因此得出。这个结果可以写成。
例5 根据导数定义求在点处的导数。
解按照由定义求导数的步骤:
因此得出。这个结果可以写成
从这两个例子可以看出公式不仅在为自然数时成立,而且当和时也成立。因此我们不妨认为对任意实数,有。
下面再来看一下利用重要极限求基本初等函数导数的例子,为此先给出第2个重要极限的另一种形式
的另一种形式是
另外,记
称为自然对数。
例6 根据导数定义求在点处的导数。
解按照由定义求导数的步骤:
注意到,当时有,设,第2个重要极限公式有
且是连续函数,所以有
因此得出。
例7 根据导数定义求在点处的导数。
解按照由定义求导数的步骤:
注意到,当时有,设,据第1个重要极限公式有
且是连续函数,所以有
因此得出。
下面我们给出基本初等函数的导数公式
三、导数的几何意义
从下面这个图中
我们可以看出,函数在点处的导数,就是函数曲线在过点处的切线的斜率。这样便可得到切线的方程
例8求函数在点处的切线方程。
解,所以。由此得切线方程
即。
若函数在点处可导,则在连续。
证由于
,有
其中是无穷小量。上式可写成
由此得
,例如函数在点连续,但在该点不可导。
求导法
一、导数的四则运算法则
我们可以看出,由定义求导是很复杂的,有了基本导数公式后也并未使求导的范围扩大多少,为此我们给出下面的运算法则:
设函数和在点处可导,则有
上述公式我们称为导数的四则运算法则。根据第3个公式还可以得到,若函数在点
处可导,为任意常数,则有
对于导数的四则运算法则,我们仅就加法和乘法法则加以验证:
因为
所以
即
又因为
所以
即
例9求下列函数的导数:
⑴⑵
⑶
解利用导数四则运算法则和基本导数公式进行计算:
⑴
⑵
⑶
二、复合函数导求导法则
有了导数四则运算法则以后,可以求导的函数类型被大大地扩充了。但仍有我们无法解决的类型,如,等函数。
设函数,,且在点处可导,在相应的点处可导,则复合函数在点处可导,且
简单验证这个定理。由于
在点处可导,则在点处连续,因此有。故有
由导数定义得到
,也称为链锁法则。
例10求下列函数的导数:
⑴⑵
⑶⑷
解利用复合函数求导法则进行计算:
⑴设,有
⑵设,有
⑶设,有
⑷设,有