文档介绍：数值计算实践
I、方程求根
实验目的
熟悉和掌握Newton法,割线法,抛物线法的方法思路,并能够在matlab上编程实现
问题描述
(1).给定一个三次方程,分别用Newton法,割线法,抛物线法求解.
方程的构造方法:
(a)根:方程的根为学号的后三位乘以倒数第二位加1再除以1000.
假设你的学号为B06060141,则根为141*(4+1)/1000=
(b)方程:以你的学号的后三位数分别作为方程的三次项,二次项,一次项的系数,根据所给的根以及三个系数确定常数项.
例如:
你的学号是B06060141,则你的方程是x3+4x2+x+a0=0的形式.
,因此有
+4*++a0=0,于是a0=-
你的方程为x3+4x2+x-=0.
(2)假设方程是sinx+4x2+x+a0=0的形式(三个系数分别是学号中的数字),重新解决类似的问题
(3)构造一个五次方程完成上面的工作.
四次方程的构造:将三次多项式再乘以(x-p*)2得到对应的五次多项式(p*为已经确定的方程的根,显然,得到的五次方程有重根).
(4)将(2)中的方程同样乘以(x-p*)得到一个新的方程来求解
注:(1),割线法以 0,1为初值,抛物线法以0,,1为初值,
(2)计算精度尽量地取高.
终止准则:根据来终止
(3)可供研究的问题:
(一)的取值不同对收敛速度有多大的影响
(二)将注(1)中的初值该为其它的初值,对收敛性以及收敛速度有无影响
(三))能否求出方程的所有的根
(4)实验报告的撰写
实验报告包含的内容:(一)实验目的(二)问题描述(三)算法介绍(包括基本原理)(四)程序(五)计算结果(六)结果分析(七)心得体会
算法介绍
在本问题中,我们用到了newton法,割线法,抛物线法。
:
当初值与真解足够靠近,newton迭代法收敛,对于单根,newton收敛速度很快,对于重根,收敛较慢。
:为了回避导数值的计算,使用上的差商代替,得到割线法迭代公式:
割线法的收敛阶虽然低于newton法,但迭代以此只需计算一次函数值,不需计算其导数,所以效率高,实际问题中经常应用。
抛物线法:可以通过三点做一条抛物线,产生迭代序列的方法称为抛物线法。其迭代公式为:
其中是一阶均差和二阶均差。
收敛速度比割线法更接近于newton法。
对于本问题的解决就以上述理论为依据。终止准则为:
本题中所有精度取1e-8。
程序计算结果
问题一
根据所给的要求,可知待求的方程为:
牛顿法
,源程序代码为:
function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)
x(1)=x0;
b=1;
i=1;
while(abs(b)>eps1*x(i))
i=i+1;
x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1));
b=x(i)-x(i-1);
if(i>nn)error
return;
end
end
y=x(i);
,源程序代码为:
function y=n_f(a,n,x)% 待求根的实数代数方程的函数
y=;
for i=1:(n+1)
y=y+a(i)*x^(n+1-i);
end
,源程序代码为:
function y=n_df(a,n,x)% 方程的一阶导数的函数
y=;
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);
end
在matlab软件中执行下列语句并得到的最终结果截图:
割线法
,源程序代码为
function x=gexian(f,x0,x1,e)
if nargin<4,e=1e-4;end
y=x0;x=x1;i=0;
while abs(x-y)>e
i=i+1;
z=x-(feval(f,x)*(x-y))/(feval(f,x)-feval(f,y));
y=x;
x=z;
end
i
在matlab软件中执行下列语句并得到的最终结果截图:
抛物线
,源程序代码为:
function x=paowuxian(f,x0,x1,x2,e)
if na