文档介绍：一元二次方程
知识点一一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式
一般形式:ax²+ bx + c = 0(a ≠ 0).其中,ax²是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
降次——解一元二次方程
知识点一直接开平方法解一元二次方程
(1) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x²=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=,x2=. (2) 直接开平方法适用于解形如x²=p或(mx+a)²=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
(3) 用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4) 直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。(1) 把常数项移到等号的右边; ⑵方程两边都除以二次项系数; ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方,
把左边配成完全平方式; ⑷若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
知识点一公式法解一元二次方程
(1) 一般地,对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),如果b²-4ac≥0,那么方程的两个根为x=,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
(2) 一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的过程。
(3) 公式法解一元二次方程的具体步骤:
①方程化为一般形式:ax²+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值②确定公式中a,b,c的值,注意符号; ③求出b²-4ac的值; ④若b²-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b²-4ac<0,则方程无实数根。
知识点二一元二次方程根的判别式
式子b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,即△=b²-4ac.
△>0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程△=0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
根的判别式
△<0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)无实数根
因式分解法
知识点一因式分解法解一元二次方程
(1) 把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2) 因式分解法的详细步骤: ①移项,将所有的项都移到左边,右边化为0; ②把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方
公式; ③令每一个因式分别为零,得到一元一次方程; ④解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二用合适的方法解一元一次方程
方法名称理论依据适用范围
直接开平方法平方根的意义形如x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)
配方法完全平方公式所有一元二次方程
公式法配方法所有一元二次方程
因式分解法当ab=0,则a=0或b=0 一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
若一元二次方程x²+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=-b/a,,x1x2=c/a
实际问题与一元二次方程
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1) 审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
(2) 设:是指设元,也就是设出未知数。
(3)