文档介绍：立体几何中的向量方法
教学案例设计与反思
《立体几何中的向量方法》的核心内容就是利用空间向量来解决立体几何问题,其一般方法是:先利用空间向量表示空间中点、直线、平面等元素,建立立体图形与空间向量的联系;进行空间向量运算;由向量运算所得结果解释几何结论。此核心内容,就是整个教学过程中所涉及到的“三步曲”。“三步曲”的给出,与平面向量在平面几何中的运用有类似的地方,是通过对比而得到的一种方法,也是平面向量的一种扩展。
本节内容的学****目标是利用向量的相关知识,表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系;用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。
教学重点:理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法。
教学难点:建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为向量问题。
一、向量方法的基础知识
向量方法的综合运用,是在空间向量相关知识的基础上展开的。这些知识包括:向量的概念、向量的加减运算、向量的数乘运算、向量数量积(内积)运算、向量平行(垂直)充要条件、向量基本定理、向量坐标表示及坐标运算等等。而向量在立体几何中的运用,还必须利用空间向量决定空间点、直线、平面在空间中的位置。在这些相应知识的前提下,我们归纳给出了以下几个有关直线、平面位置关系的结论:
设直线l,m的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则
注意:(1)这里的线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合。(2)这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的,即
。二面角的大小是指其两个半平面的张开程度,这可以用其平面角的大小来定义,它的取值范围为,具体取应结合具体问题而定。
二、向量方法的基本应用
例1、一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直(平面与平面垂直的判定定理)
已经:直线
证明:设直线的方向向量为a,平面的法向量分别为u,r(建立立体几何问题与向量之间的联系)。
因为,所以a||r,即a=r()(把立体几何问题转化为空间向量问题),
又所以auau=0(把立体几何问题转化为空间向量问题),
所以ur=0 ur(把空间向量的结果转化为几何结论)。
所以平面与平面互相垂直。
本例题的证明,是应用了以上:两个平面垂直的充要条件是这两个平面的法向量也互相垂直的这个结论。
例2、如图的二面角的棱上有两点,直线分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于
解:化为向量问题
根据向量的加法法则,
进行向量运算
回到图形问题
所以
(点析:本题包含两个方面的知识点:通过向量的加减法运算,把图形问题向量化;向量模的运算方法,结果向量的数量积运算律进行向量运算,最后求得图形中线段的长度)。
例3、在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.
(1)求证:PA||平面EDB;
(2)求证:PB平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小。
引导:(1) 侧棱PD底面ABCD,则PDAD, PDCD, 底面ABCD是正方形,则ADCD,又PD=DC,这告诉我们,“三条线段两两垂直且彼此相等”。