文档介绍：圆锥曲线与方程
专题1、椭圆
考点1、椭圆的定义:
椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数2(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
特别提示:
椭圆的定义中特别要注意条件,否则规矩不是椭圆。当时,动点的轨迹是两定点间的线段;当时,动点的轨迹不存在。
必备方法:
1、掌握椭圆定义的集合语言表述有助于增强驾驭数学符号语言的能力,椭圆的集合语言表述如下:
若为椭圆上任意一点,则有。
2、一般地,遇到与椭圆的焦点距离有关的问题都可以考虑用椭圆的定义解决。
典例导悟:
例1、已知,是椭圆C的两个焦点,过且垂直于轴的直线交C于A、B两点,且,则C的方程为( )
A、 B、 C、 D、
例2、已知点,直线与椭圆相交于A、B两点,则的周长为( )
A、4 B、8 C、12 D、16
例3、设椭圆的左、右焦点分别为、,是上的点,,,则的离心率为( )
A、 B、 C、 D、
考点2、椭圆的标准方程:
1、椭圆的标准方程:
(1)焦点在x轴上时: ()
(2)焦点在y轴上时: ()
2、在椭圆的标准方程中,都有,且。
必备方法:
1、给出椭圆方程时,判断椭圆焦点的位置的方法是:椭圆的焦点在x轴上时;椭圆的焦点在轴上时,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法。
2、在求解椭圆问题时,首先要判断焦点、的位置,这是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型,而方程中的两个参数、确定椭圆的形状和大小,是椭圆的定形条件。
3、当焦点的位置不能确定时,椭圆方程可设为(,且)
典例导悟:
例1、已知中心在原点的椭圆的右焦点为,离心率等于,则的方程是( )
A、 B、 C、 D、
例2、已知椭圆的离心率为。双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为( )
A、 B、 C、 D、
例3、对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
考点3、椭圆的几何性质:
必备方法:
1、在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出和的值,而是根据题目中给出的椭圆的几何特征,建立关于参数、、的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。
2、椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦、余弦定理。
3、涉及直线与椭圆相交问题,常将直线方程与椭圆方程联立方程组,消元转化为一元二次方程,然后结合判别式、根与系数关系(
,)解题。
4、涉及中点弦问题,常用点差法来解决(一、设点;二、代点;三、作差)
标准方程
简图
范围
顶点
对称轴
轴,轴
对称中心
坐标原点O
焦点坐标
轴
长轴长为,短轴长为
焦距
离心率
()
,,间关系
焦点三角形
()
弦长公式
椭圆上点到焦点的最小距离为,最大距离为。
典例导悟:
例1、设椭圆的两个焦点分别为、,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
A、 B、 C、 D、
例2、已知、是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点,若是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A、 B、 C、 D、
例3、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A、 B、 C、 D、
例4、从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )
A、 B、 C、 D、
例5、椭圆的左、右顶点分别为、,左、右焦点分别为、,若、、成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
A、 B、 C、 D、
例6、已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点在椭圆上,且轴,直线交轴于点。若,则椭圆的离心率是( )
A、 B、 C、 D、
专题2、双曲线
考点1、双曲线的定义:
双曲线的定义:平面上与两个定点、距离的差的绝对值为非零常数2(小于)的动点轨迹是双曲线()。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
特别提示:
定义中的“绝对值”与不可忽视。若,则轨迹是以、为端点的两条射线;若,则轨迹不存在;若,则轨迹为线段的垂直平分线。另外,若去掉定义中的绝对值,则轨迹仅表示双曲线的一支。如:
方程表示的双曲线是双曲线的左支。
必备方法:
1、类比椭圆,双曲线定义的集合语言表述如下:
在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义