4.2 二次型的标准型与规范型.ppt

文档介绍：第二节
标准形的定义
正交线性替换法
配方法
二次型的标准形与规范形
初等变换法
二次型的规范形
一、标准形的定义
定义二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) 经过非退化
线性替换 x= Cy所变成的如下形式(只含平方项)
yTBy = d1y12 + d2y22 + …+ dryr2 ( r  n ) ()
的二次型称为二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) 的标准形.
不难看出,二次型() 的矩阵 B 为 n 阶对角
矩阵.
即
B = CTAC = diag(d1 , d2 , …, dr , 0 , …, 0).
二、用正交线性替换法
化二次型为标准形
任一(实)二次型一定可以通过正交线性替换化为标准形.
例 1 用正交线性替换化下列二次型为标准形, 并求出所作的正交线性替换:
一般地,用正交线性替换将二次型 f ( x1 , x2 ,
…, xn ) = xTAx (其中 AT = A) 化为标准形的步骤如下:
Step1 求出二次型矩阵 A 的全部特征值
1 , 2 , …, n ;
Step2 求出正交矩阵 P,使
PTAP = diag(1 , 2 , …, n) ;
Step3 作正交线性替换 X = PY ,其中
Y = (x1 , x2 , …, xn )T  Rn ,则二次型 f ( x1 , x2 , …,
xn ) 化为标准形1y12 + 2y22 + …+ nyn2 .
三、用配方法
化二次型为标准形
例 2 用配方法把三元二次型
化为标准形,并求所用的线性替换及变换矩阵.
例 3 用配方法化二次型
为标准形.
即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.
四、用初等变换法
化二次型为标准形
对A施以一系列行初等变换
对
施以一系列
同种列初等变换
PsT…P2TP1TAP1P2…Ps
P1P2…Ps
例 4 用初等变换法化二次型
为标准形.
例 5 用初等变换法化二次型
为标准形.