文档介绍：,可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数,直至化为常微分方程,这就使问题得到大大简化,再进行反演,(也包括积分方程、差分
方程等),用经典的分离变量法求解,就显得有些烦琐和笨挫,而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法,并且显得具有固定的程序,,有时还能得到有限形式的解,而这往往是用分离变
量法不能得到的.
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特别是对于无界或半无界的定界问题,用积分变换来
求解,最合适不过了.(注明:无界或半无界的定界问题
也可以用行波法求解)
用积分变换求解定解问题的步骤为:
第一:根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当
的积分变换;
对于自变量在
内变化的定解问题
(如无界域的坐标变量)
常采用傅氏变换,而自变量在
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内变化的定解问题(如时间变量)常采用拉氏变换.
第二:对方程取积分变换,将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程;
第三:对定解条件取相应的变换,导出常微分方程的定解条件;
第四:求解常微分方程的解,即为原定解问题的变换;
第五:对所得解取逆变换,最后得原定解问题的解.
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傅里叶变换法解数学物理定解问题
用分离变量法求解有限空间的定解问题时,所得
到的本征值谱是分立的,所求的解可表为对分立本征
,用分离变量法
求解定解问题时,所得到的本征值谱一般是连续的,所
求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分.
因此,对于无限空间的定解问题,傅里叶变换是一种很
变换求解无界空间(含一维半无界空间)的定界问题的
基本方法,并给出几个重要的解的公式.
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下面的讨论我们假设待求解的函数
及其一阶导数是有限的.
弦振动问题
求解无限长弦的自由振动定解问题
(假定:函数
及其一阶导数是有限的,以后不再特别指出.
这一定解问题在行波法中已经介绍,
读者可以比较行波解
法和傅氏解法)
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【解】
应用傅里叶变换,即用
遍乘定解问题中的各式,
并对空间变量x积分(这里把时间变量看成参数),按照傅
里叶变换的定义,我们采用如下的傅氏变换对:
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简化表示为
对其它函数也作傅氏变换,即为
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于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题
上述常微分方程的通解为
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代入初始条件可以定出
这样
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最后,上式乘以
理和积分定理得到
这正是前面学过的的达朗贝尔公式.
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