文档介绍：将军饮马问题
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句
说:"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河. "
诗中隐含着一个有趣的数学问题.
如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下
的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.
请问怎样走才能使总的路程最短?
这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.
将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短?从此,这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传.
将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题(轴对称是工具,最短距离是题眼)。所谓轴对称是工具,即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼,也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题,然后利用轴对称解题。
,直线 l 和 l 的异侧两点 A、B,
在直线 l 上求作一点 P,使 PA+PB 最小。
,直线 l 和 l 的同侧两点 A、B,
在直线 l 上求作一点 P,使 PA+PB 最小。
,点 P 是∠MON 内的一点,分别在 OM,ON 上作点 A,B。
使△PAB 的周长最小.
,点 P,Q 为∠MON 内的两点,分别在 OM,ON 上作点 A,B。
使四边形 PAQB 的周长最小。
,点 A 是∠MON 外的一点,在射线 ON 上作点 P,
使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小
6. .如图,点 A 是∠MON 内的一点,在射线 ON 上作点 P,使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小
常见问题
首先明白几个概念,动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点,
即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点,作图所得的点,需要连
线的点。
1. 怎么对称,作谁的对称?。简单说所有题目需要作对称的点,都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点?首先要明确关于对称的对象肯定是一条线,而不是一个点。那么是哪一条线?一般而言都是动点所在直线。
2. 对称完以后和谁连接?
一句话:和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念:定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。
3. 所求点怎么确定?
首先一定要明白,所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。
下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题:
,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小?若存在,求出四边形PAOC周长的最小值;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)设交点式为y=a(x﹣1)(x﹣4),然后把C点坐标代入求出a=,于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3;
(2)先确定抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P,如图,利用对称性得到PA=PB,所以PA+PC=PC+PB=BC,根据两点之间线段