文档介绍：1函数解析式的特殊求法
例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x-1, 求f(x)的解析式
例2 若,求f(x)
例3 已知,求
例4已知:函数的图象关于点对称,求的解析式
例5 已知f(x)满足,求
2函数值域的特殊求法
例1. 求函数的值域。
例2. 求函数的值域。
例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域
例4. 求函数的值域。
例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数?
①
②
③
2若函数的图象经过,那么的反函数图象经过点
(B) (C) (D)
例3
已知函数对任意的满足:
;。
(1)求:的值;
(2)求证:是上的减函数;
(3)若,求实数的取值范围。
例4已知Z},
Z},≤,问是否存在实数,使得(1),(2)同时成立.
证明题
、2R,且1<2时
,求证:方程=有不等实根,且必有一根属于区间(1,2).
答案
1解:设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x-1
则或
∴或
2换元法:已知复合函数的表达式时,还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。解法一(换元法):令t=则x=t-1, t≥1代入原式有
∴(x≥1)
解法二(定义法):
∴≥1
∴(x≥1)
4代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。
解:设为上任一点,且为关于点的对称点
则,解得: ,
点在上
把代入得:
整理得
例5构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。
∵已知①,
将①中x换成得②,
①×2-②得∴.
值域求法
例1 解:将函数配方得:
∵由二次函数的性质可知:当x=1时,,当时, 故函数的值域是:[4,8]
2. 判别式法例2. 解:原函数化为关于x的一元二次方程
(1)当时,
解得:
(2)当y=1时,,而故函数的值域为
  当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
  例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
  点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。
  解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
  点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。
  练****求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1}
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例4. 求函数的值域。解:由原函数式可得:
∵
∴
解得:
故所求函数的值域为
例1(定义域不同)(定义域不同) (定义域、值域都不同)
例3解: (1) 令,得
令,得
(2)证明:设是上的任意两个实数,且,即,
从而有,
则
∴即是上的减函数