确界原理的证明.doc

文档介绍：§2 数集. 确界原理
(一) 教学内容:实数的区间与邻域;集合的上、下界,上确界和下确界;确界原理
难点: 上、下确界定义的理解、数集确界的证明
二) 教学目的:
1)正确使用区间和邻域概念,掌握集合的有界性的证明;
2)初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。
(三)基本要求:
1)掌握实数的区间与邻域概念;分清最大值与上确界的联系与区别;结合具体集合,能指出其确界;
2):
有,且使得.
(三) 教学建议:
(1) ,对多数学生可只布置证明具体集合的确界的****题.
(2) .
一区间与邻域:
区间
邻域
设与是两个实数,且,称点集为点的邻域,记作
称点集为点的去心邻域
记作
的右邻域
的右空心邻域
的左邻域
的左空心邻域
邻域
邻域
邻域
二有界数集. 确界原理:
有界数集:
定义(上、下有界, 有界) 设 S为实数R上的一个数集,若存在一个数M( L), 使得对一切都有,则称S为有上界(下界)的数集。
若集合S既有上界又有下界,则称S为有界集。
例如,区间、为有限数)、邻域等都是有界数集,集合
也是有界数集.
无界数集: 若对任意,存在,则称S为无界集。
例如,,有理数集等都是无界数集,
证明集合是无界数集.
证明:对任意, 存在
由无界集定义,E为无界集。
M
M+1
确界,先给出确界的直观定义:若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界,记作;
M
M2
M1
上确界
上界
同样,有下界数集有无穷多个下界,称最大下界为该数集的下确界,记作。
m2
m
m1
下确界
下界
精确定义
定义2 设S是R中的一个数集,若数满足以下两条:
对一切有,即是数集S 的上界;
对任意,存在使得(即是S的最小上界),
则称数为数集S的上确界。记作
S
定义3 设S是R中的一个数集,若数满足以下两条:
对一切有,即是数集S 的下界;
对任意,存在使得(即是S的最大下界),
S
则称数为数集S的下确界。记作
例2