文档介绍：2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编
第17部分:推理与证明
一、选择题:
1.(2010年高考山东卷文科10)观察,,,由归纳推理可得:若定义在上的函数满足,记为的导函数,则=
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在上的函数满足,即函数是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有=,故选D。
【命题意图】本题考查函数、归纳推理等基础知识,考查同学们类比归纳的能力。
二、填空题:
1.(2010年高考福建卷文科16)观察下列等式:
① cos2a=2-1;
② cos4a=8- 8+ 1;
③ cos6a=32- 48+ 18- 1;
④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1;
⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.
可以推测,m – n + p = .
【答案】962
【解析】因为所以;观察可得,
,所以m – n + p =962。
【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识,考查同学们的推理能力等。
2.(2010年高考福建卷文科15)对于平面上的点集,如果连接中任意两点的线段必定包含于,则称为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界):
[来源:学科网ZXXK]
其中为凸集的是(写出所有凸集相应图形的序号)。
【答案】②③
3.(2010年高考陕西卷文科11)观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=
(1+2+3+4)2,…,根据上述规律,第四个等式为.
【答案】13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或152).
【解析】∵所给等式左边的底数依次分别为;;,右边的底数依次分别为(注意:这里),∴由底数内在规律可知:第五个等式左边的底数为,右边的底数为.
又左边为立方和,右边为平方的形式,故第四个等式为13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或152).
三、解答题:
1.(2010年高考北京卷文科20)(本小题共13分)
已知集合对于,,定义A与B的差为
A与B之间的距离为
(Ⅰ)当n=5时,设,求,;
(Ⅱ)证明:,且;
(Ⅲ) 证明:三个数中至少有一个是偶数
(Ⅰ)解:=(1,0,1,0,1)
=3
(Ⅱ)证明:设[来源:学科网ZXXK]
因为,所以
从而
由题意知[来源:]
当时,
当时,
所以
(Ⅲ)证明:设
记由(Ⅱ)可知
所以中1的个数为k,中1的个数为
设是使成立的的个数。则
由此可知,三个数不可能都是奇数
即三个数中至少有一个是偶数。
2.(2010年高考江西卷文科22)(本小题满分14分)
正实数数列中,,,且成等差数列.
(1)证明数列中有无穷多项为无理数;
(2)当为何值时,为整数,并求出使的所有整数项的和.
【答案】证明:(1)由已知有:,从而,
方法一:取,则.
用反证法证明这些都是无理数.
假设为有理数,则必为正整数,且,
故.,与矛盾,
所以都是无理数,即数列中有无穷多项为无理数;
方法二:因为,当得末位数字是3,4,8,9时,的末位数字是3和7,它不是整数的平方,也不是既约分数的平方,故此时不是有理数,因这种有无穷多,故这种无理项也有无穷多.
(2)要使为整数,由可知:同为偶数,且其中一个必为3的倍数,所以有或当时,有又必为偶数,所以满足
即时,为整数;同理有
也满足
即时,为整数;显然和是数列中的不同项;所以当
和时,为整数;由有,
由有.
设中满足的所有整数项的和为,则
.
3.(2010年高考上海卷文科22)(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分。
若实数、、满足,则称比接近.
(1)若比3接近0,求的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数、,证明:比接近;
(3),,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).
解析:(1) xÎ(-2,2);
(2) 对任意两个不相等的正数a、b,有,,
因为,
所以,即a2b+ab2比a3+b3接近;
(3) ,kÎZ,
f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期T=p,函数f(x)的最小值为0,
函数f(x)在区间单调递增,在区间单调递减,kÎZ.
已知曲线,点是曲线上的点(n=1,2,…).
(1)试写出曲线在点处的切线的方程,并求出与轴的交点的坐标;
(2)若原点