文档介绍：* 相似三角形判定定理的证明
第四章图形的相似
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当堂练****br/>课堂小结
学****目标
;(重点)
.(难点)
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问题:相似三角形的判定方法有哪些?
①两角对应相等,两三角形相似.
②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③三边对应成比例,两三角形相似.
讲授新课
证明相似三角形的判定定理
一
在上两节中,我们探索了三角形相似的条件,稍候我们将对它们进行证明.
定理1:两角分别相等的两个三角形相似.
已知:如图,在△ABC 和△A'B'C' 中,∠A = ∠A',∠B =∠B'.
求证:△ABC ∽△A'B'C'.
A′
B′
C′
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
证明:在△ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取AD =A'B',过点D作BC的平行线,交 AC 于点E,则
∠1=∠B,∠2 =∠C,
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴∴
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴四边形 DFCE 是平行四边形.∴ DE = CF.
∴∴
E
D
F
1
2
而∠ 1 = ∠ B,∠ DAE = ∠ BAC,∠ 2=∠ C,
∴△ADE ∽△ABC.
∵∠ A = ∠ A',∠ ADE = ∠ B =∠ B',AD = A'B',
∴△ADE ≌△A' B ' C ' .
∴△ABC ∽△A'B'C.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
F
1
2
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知:如图,在△ABC 和△A'B'C' 中,∠A =∠ A',
求证:△ABC ∽△A'B'C'.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
1
2
证明:在△ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取 AD = A'B',过点 D 作 BC 的平行线,交 AC 于点 E,则
则∠ B = ∠ 1, ∠ C = ∠ 2,
∴△ABC ∽△ADE ∴
∵,AD = A'B',
∴∴
∴ AE =A'C'. 而∠ A=∠ A',
∴△ADE ≌△A'B'C'. △ABC ∽△A'B'C'.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
1
2
定理3:三边成比例的两个三角形相似.
已知:如图,在△ABC 和△A'B'C' 中,
求证:△ABC ∽△A'B'C' .
A′
B′
C′
A
C
E
D
B
证明:在△ABC 的边 AB,AC(或它的延长线)上分别截取 AD = A'B',AE= A'C',连接DE,则
∵,AD = A'B',AE = A'C',
∴而∠ BAC =∠ DAE,
∴△ABC ∽△ADE.∴
又,AD = A'B',
∴∴
∴ DE = B'C'.
∴△ADE ≌△A'B'C' .
∴△ABC ∽△A'B'C' .
A′
B′
C′
A
C
E
D
B