文档介绍：圆的知识点总结
(一)圆的有关性质
[知识归纳]
  1. 圆的有关概念:
    圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆;
    弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高;
    圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
  2. 圆的对称性
    圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;
    圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;
    圆具有旋转不变性。
  3. 圆的确定
    不在同一条直线上的三点确定一个圆。
  4. 垂直于弦的直径
    垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;
    推论1 
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
    (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
    (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
    垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
    推论2  圆的两条平行弦所夹的弧相等。
  5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
    定理  在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。
    推论  在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
     此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。
    圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
  6. 圆周角
    定理  一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
    推论1  同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等;
    推论2  半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;
    推论3  如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
    圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
 
7. 圆内接四边形的性质
    圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
  ※8. 轨迹
 轨迹  符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。
(1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆;
(2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线;
(3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。
 
[例题分析]
  例1. 已知:如图1,在⊙O中,半径OM⊥弦AB于点N。
图1
    ①若AB=,ON=1,求MN的长;
    ②若半径OM=R,∠AOB=120°,求MN的长。
    解:①∵AB=,半径OM⊥AB,   ∴AN=BN=
    ∵ON=1,由勾股定理得OA=2
    ∴MN=OM-ON=OA-ON=1
    ②∵半径OM⊥AB,且∠AOB=120° ∴∠AOM=60°
    ∵ON=OA·cos∠AON=OM·cos60°=
    ∴
    说明:如图1,一般地,若∠AOB=2n°,OM⊥AB于N,AO=R,ON=h,则AB=2Rsin n°=2htan n°=
 
  例2. 已知:如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以点C为圆心、AC为半径作⊙C,交AB于点D,求的度数。
图2
分析:因为弧与垂径定理有关;与圆心角、圆周角有关;与弦、弦心距有关;弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系,因此这道题有很多解法,仅选几种供参考。
解法一:(用垂径定理求)如图2-1,过点C作CE⊥AB于点E,交于点F。
图2-1
    ∴
    又∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠FCA=25°
    ∴的度数为25°,∴的度数为50°。
    解法二:(用圆周角求)如图2-2,延长AC交⊙C于点E,连结ED
图2-2
    ∵AE是直径,∴∠ADE=90°
    ∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠E=∠B=25°
    ∴的度数为50°。
    解法三:(用圆心角求)如图2-3,连结CD
图2-3
    ∵∠A