文档介绍：复习:
求曲边梯形面积的方法是什么?
定积分的几何意义是什么?
微积分基本定理是什么?
引入:
我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
简单几何体的体积计算
问题:设由连续曲线和直线,及轴围成的平面图形(如图甲)绕轴旋转一周所得旋转体的体积为,如何求?
分析:
在区间内插入个分点,使,把曲线()分割成个垂直于轴的“小长条”,如图甲所示。设第个“小长条”的宽是,。这个“小长条”绕轴旋转一周就得到一个厚度是的小圆片,如图乙所示。当很小时,第个小圆片近似于底面半径为的小圆柱。因此,第个小圆台的体积近似为
该几何体的体积等于所有小圆柱的体积和:
这个问题就是积分问题,则有:
归纳:
设旋转体是由连续曲线和直线,及轴围成的曲边梯形绕轴旋转而成,则所得到的几何体的体积为
利用定积分求旋转体的体积
找准被旋转的平面图形,它的边界曲线直接决定被积函数
分清端点
确定几何体的构造
利用定积分进行体积计算
一个以轴为中心轴的旋转体的体积
若求绕轴旋转得到的旋转体的体积,则积分变量变为,其公式为
类型一:求简单几何体的体积
例1:给定一个边长为的正方形,绕其一边旋转一周,得到一个几何体,求它的体积
思路:
由旋转体体积的求法知,先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确定积分上、下限,确定被积函数即可求出体积。
解:以正方形的一个顶点为原点,两边所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,如图。则该旋转体即为圆柱的体积为:
规律方法:
求旋转体的体积,应先建立平面直角坐标系,设旋转曲线函数为。确定积分上、下限,则体积
练习1:如图所示,给定直角边为的等腰直角三角形,绕轴旋转一周,求形成的几何体的体积。
解:形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。
类型二:求组合型几何体的体积
例2:如图,求由抛物线与直线及所围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积。
思路:
解答本题可先由解析式求出交点坐标。
再把组合体分开来求体积。
解:解方程组得:
与直线的交点坐标为
所求几何体的体积为:
规律方法:
解决组合体的体积问题,关键是对其构造进行剖析,分解成几个简单几何体体积的和或差,然后,分别利用定积分求其体积。
练面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。
解:旋转体的体积:
类型三:有关体积的综合问题:
例3:求由曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。
思路:解题的关键是把所求旋转体体