文档介绍：九年数学下第27章《相似三角形》考前解析及答案
例题解析
知识考点:
本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用,会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。另外,直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用,是近几年中考的热点题型。
精典例题:
【例1】如图,在△ABC中,AB=14cm,,DE∥BC,CD⊥AB,CD=12cm,求△ADE的面积和周长。
分析:由AB=14cm,CD=12cm得=84,再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE,有可求得,利用勾股定理求出BC、AC,再用相似三角形的性质可得△ADE的周长。
答案:△ADE的面积为cm2,周长为15 cm。
【例2】如图,正方形DEMF内接于△ABC,若,,求
分析:首先利用正方形的面积求出其边长,过A点作AQ⊥BC于Q,交DE于P,利用可得AP及AQ的长,再由△ADE∽△ABC求出BC,从而求得。
解:∵正方形的面积为4,∴DE=MF=2。过A点作AQ⊥BC于Q,交DE于P
∵,∴AP=1
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,即
∴BC=6,故=9
变式1:如图,已知菱形AMNP内接于△ABC,M、N、P分别在AB、BC、AC上,如果AB=21 cm,CA=15 cm,求菱形AMNP的周长。
答案:35 cm
变式2:如图,在△ABC中,有矩形DEFG,G、F在BC上,D、E分别在AB、AC上,AH⊥BC交DE于M,DG∶DE=1∶2,BC=12 cm,AH=8 cm,求矩形的各边长。
答案: cm, cm
【例3】如图,已知P为△ABC内一点,过P点分别作直线平行于△ABC的各边,形成小三角形的面积、、,分别为4、9、49,求△ABC的面积。
解:设MP=,RT=,PN=,由于、、都相似于△ABC,设△ABC的面积为,AB=,则有,,,三式相加得:
∴,故
【例4】如图,已知,在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E,使AE=AD,从AB的中点F作HF⊥EC于H。
(1)求证:FH=FA;
(2)求EH∶HC的值。
证明:(1)连结EF,FC,在正方形ABCD中,AD=AB=BC,∠A=∠B=900
∵AE=AD,F为AB的中点,∴
∴△EAF∽△FBC,∴∠AEF=∠BFC,∠EFA=∠CFB
∴∠EFC=900,
又∵∠EFC=∠B=900 ∴△EFC∽△FBC
∴∠HEF=∠BFC,∠ECF=∠BCF
∴∠AEF=∠HEF,∠AFE=∠HFE
∴△EAF≌△HEF ∴FH=FA
(2)由(1)得,由(1)易证△EHF∽△EFC,从而可得,同理,于是EH∶HC=∶=1∶4
变式:如图,在矩形ABCD中,,点E在BC上,点F在CD上,且EC=BC,FC=CD,FG⊥AE于G,。求证:AG=4GE。
(提示:证△ECF∽△FDA得EF∶AF=1∶2,再证△EFG∽△EAF∽△FAG即可)
【例5】已知,在△ABC中,∠ACB=900,过C作CD⊥AB于D,AD=,BD=,∶=2∶1,又关于的方程的两实数根的差的平方小于192,求整数、的值。
分析:如图,易证△ABC∽△ADC,∶=AD∶BD=∶=2∶1,即,再由方程两根差的平方小于192可得,又由判别式