文档介绍：一、高考与不等式
高考试题,有关不等式的试题约占总分的12% 左右,主要考查不等式的基本知识,基本技能,以及学生的运算能力,逻辑思维能力,、比较大小和解简单不等式,还可能与函数、。不等式常与下列知识相结合考查:
①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合,一般多以选择题的形式出现,有时也与充要条件、函数单调性等知识结合,且试题难度不大;
②解不等式的试题主要在解答中出现,常常是解含参不等式较多,且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题;
③证明不等式是理科考查的重点,经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何,甚至还可能与平面向量等结合起来考查.
二、常见考试题型
(1)求解不等式解集的题型
(分式不等式的解法,根式不等式的解法,绝对值不等式的解法,含参不等式的解法,简单的一元高次不等式的解法)
(2)不等式的恒成立问题
(不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想,分离变量法,数形结合法)
(3)不等式大小比较
常用方法:
:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;
(常用于分数指数幂的代数式);
;
;
(或分母)有理化;
;
;
。
(4)不等式求函数最值
技巧一:凑项
例:已知,求函数的最大值。
技巧二:凑系数
例. 当时,求的最大值。
技巧三: 分离
例. 求的值域。
技巧四:换元
例. 求的值域。
技巧五:函数的单调性
(注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数的单调性。)
例:求函数的值域。
技巧六:整体代换
(多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。)
例:(1)已知,且,求的最小值。
(2)若且,求的最小值
(3)已知且,求的最小值
技巧七、利用转换式子
技巧八、已知x,y为正实数,且x 2+=1,求x的最大值.
分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。
同时还应化简中y2前面的系数为, x=x =x·
下面将x,分别看成两个因式:
x·≤== 即x=·x ≤
技巧九:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.
这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,
一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解
二是直接用基本不等式。
例:>0,b>0,ab-(a+b)=1,求a+b的最小值。
,求它的面积最大值。
技巧十:取平方
例、已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W=+的最值.
(5)证明不等式
常用方法:比较法、分析法、综合法和放缩法。
基本不等式—最值求法的题型
基础题型一:指数类最值的求法
已知,求的最小值。
,求的最小值。
,求的最小值。
,求的最小值。
,求的最小值。
基础题型二:对数类最值的求法
已知,且,求的最大值。
,且,求的最小值。
,求的最大值。
能力题型一:常数变形(加或减去某个常数使两个因式的积为常数)
已知,求的最小值。
,求的最小值。
,求的最大值。
能力题型二:代换变形(把整式乘到分式中去以便于用基本不等式)
已知,且,求的最小值。
,且,求的最小值。
,且,求的最大值。
能力题型三:指数与系数的变形(调整字母的系数和指数)
已知,且,求的最大值。
,且,求的最大值。
,且,求的最小值。
能力题型四:对勾函数及其应用
【对勾函数】,由得顶点的横坐标为。
,由得顶点的横坐标为。
,由得顶点的横坐标为。
。
。
。
。
。
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。
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基本不等式例题
已知, 且,求的最小值及相应的值.
例2. 的最小值为________。
,,成等差数列,成等比数列,则的最小值是( )
,若点在直线上,则的最小值为_________.
例5. 若,则的最小值是( )
,最小值为2的是( )
A
B. C. D.