文档介绍：在数学百日百题中的应用
例题:在平面直角坐标系xoy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积为-.
(Ⅰ)求动P点的轨迹方程;
(Ⅱ) 设直线AP与BP分别与直线x=3交于M与N,问:是否存在P点使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
以一题多元优化思维
多元
路径
求点的坐标?
从不同的思维出发给出本题(II)的详细解答过程:
(Ⅱ)方法一:常规解法(推荐人:程娟秀)
设点p的坐标为(),点坐标分别为(3,),(3,),
则直线AP的方程为y-1=(x+1),
直线BP的方程为y+1=(x-1)
令x=3得=,=
于是△PMN的面积为
=|(3-)=
又直线AB的方程为x+y=0,|AB|2,
点P到AB直线的距离d=
于是△PAB的面积为
=|AB|d=,
由==
又≠0
所以,解得=
因为+3=4,所以=
故存在点P使得△PMN与△PAB的面积相等,此时点P的坐标为(,)
解法二:数形结合(推荐人:411B班白永燚指导教师:张敏)
若存在点P使得△PMN与△PAB的面积相等设点p的坐标为(),则|PA||PB|=|PM||PN|.
因为=
所以,所以
即=, 解得=
因为+3=4,所以=
故存在点P使得△PMN与△PAB的面积相等,此时点P的坐标为(,)
以上两种法方中第二种法通过对几何的推理,减少了很多的计算,属于最优解.
(2)以多题一源可优化思维
对称
斜率
三角形面积
以纵横联系可优化思维
每个命题都由对应的关键字或词或义而构成,优化思维就是要训练从每个命题中学会吸收具有内涵价值的关键字、词、句、义。
该题中具有思维价值的关键词是“对称”,“斜率”,“面积”同时展开纵横联系,又能达到优化思维的目的。
“对称”从数学科展开联系,如:函数的对称与圆锥曲线的对称两大部分。对于“函数图像的对称”,要知“函数图像的对称”的内涵要义是什么?函数的解析式的变化对对称造成什么影响了?怎样从函数的解析式观察出函数的图像的对称性的?函数的对称包含哪两类对称呢?一个是函数图像自身对称,一个是两个函数图像之间的对称,他们的规律有什么异同?圆锥曲线的对称,又怎样从方程中得出图像的对称关系的?从方程中怎样得出对称轴、对称中心?。。。。。。通过以上比较发现,函数图象的对称具有代表性、典型性、重要性。我们可以从“关于x轴,y轴,原点,y=x+b”等常见的四个维度进行优化思维。
由数学科从“斜率”展开纵横联系。如:通过倾斜角表达斜率,通过直线的方向向量求斜率,通过点的坐标求斜率,通过斜率解决三角函数值域等,由以上均可构建对题一源的相关体系,以达到优化思维的目的。
由“面积”展开纵横联系,可以与三角函数发生关系,还可以与初中的平面几何进行联系,以上均可构建多题一源的相关体系,以达到优化思维的目的。
(4)以类比类推可优化思维
理解几何对象的本质特征是实现几何代数化的基础。
例1:过定点M(a,b)任作互相垂直的两条直线和,分别与
x轴、y轴交于A,B两点, 求线段AB中点P的轨迹方程.
分析1:利用,. 设,则.
分析2:连结PM,由,为直角三角形,
分析3:点O,A,M,B四点共圆,
由