文档介绍：指导教师:郑军
双曲线的定义:
第一定义:
到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|)的点的轨迹((为常数))这两个定点叫双曲线的焦点.
要注意两点:(1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|.
当|MF1|-|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支;
当|MF1|-|MF2|=-2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的一支;
当2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;
当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
第二定义:
动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e>1)时,这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线
双曲线的标准方程:
(a>0,b>0)(焦点在x轴上);
(a>0,b>0)(焦点在y轴上);
如果项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果项的系数是正数,则焦点在y轴上. a不一定大于b.
与双曲线共焦点的双曲线系方程是
双曲线方程也可设为:
例题:已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且过点,求双曲线的轨迹方程。
点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系:
点与双曲线:
点在双曲线的内部
点在双曲线的外部
点在双曲线上
直线与双曲线:
(代数法)
设直线,双曲线联立解得
时,直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点);
,,或k不存在时直线与双曲线没有交点;
时,
存在时,
若
,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;
若,
时,,直线与双曲线相交于两点;
时,,直线与双曲线相离,没有交点;
时,直线与双曲线有一个交点;
若不存在,时,直线与双曲线没有交点;
直线与双曲线相交于两点;
3. 过定点的直线与双曲线的位置关系:
设直线过定点,双曲线
1).当点在双曲线内部时:
,直线与双曲线两支各有一个交点;
,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;
或或不存在时直线与双曲线的一支有两个交点;
2).当点在双曲线上时:
或,直线与双曲线只交于点;
直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点);
()或()或或不存在,直线与双曲线在一支上有两个交点;
当时,
或不存在,直线与双曲线只交于点;
或时直线与双曲线的一支有两个交点;
直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点);
3).当点在双曲线外部时:
当时,
,直线与双曲线两支各有一个交点;
或或不存在,直线与双曲线没有交点;
当点时,
时,过点的直线与双曲线相切
时,直线与双曲线只交于一点;
几何法:直线与渐近线的位置关系
例:过点的直线和双曲线,仅有一个公共点,求直线的方程。
双曲线与渐近线的关系:
若双曲线方程为
渐近线方程:
若双曲线方程为(a>0,b>0)
渐近线方程:
若渐近线方程为
双曲线可设为, .
若双曲线与有公共渐近线
则双曲线的方程可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上)
双曲线与切线方程:
双曲线上一点处的切线方程是.
过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
双曲线与直线相切的条件是.
双曲线的性质:
双曲线
标准方程(焦点在轴)
标准方程(焦点