文档介绍：排列组合解题技巧
方志清
(潜山县黄铺中学,fangzhiqingwangjiang@)
摘要:本文重点阐述排列组合解题技巧
引言:在学到排列组合的时候,很多同学觉得学起来较为困难,原因是这一章节要求学生的逻辑性很强。我想谈谈个人对于排列组合教学的看法。
一、理解排列组合、两个计数原理的概念。
(1)首先要区分“分类计数原理”和“分步计数原理”。使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”,要根据我们完成某件事采取的方式而定。如果是可以分类来完成这件事,就用“分类计数原理”,而如果需要分步来完成这件事时就得使用“分步计数原理”。那么,怎么样确定是“分类”还是“分步”呢?“分类”最重要的特征是其中任何一类都可以独立完成某件事,而“分步”必须把各步骤都完成了才能完成某件事。
(2)排列问题常常通过画“树图”,“框图”等手段使问题直观化,从而寻求解题途径。
例1:3男3女共6个同学排成一行
①女生都排在一起,有多少种排法?
②女生与男生相间,有多少种排法?
③任何两个男生都不相邻,有多少种排法?
这就是典型的排列问题。解题技巧:①将3名女生排列,有A33种排法,再将这3名女生看成一个整体与另外3个男生,有A44种排法,所以共有A33 A44=144种排法。②中男生自己排,女生也自己排,各有A33种排法,然后相间插入有2种插法,所以共有2 A33 A33=72种排法。③中女生先排,有A33种排法,女生之间及首尾共有4个间隙,任取其中3个安插男生,有A43种方法,所以共有A33 A43=144种排法。
(3)排列与组合定义相近,要分别理解它们的定义,还要会区别它们。而它们最主要的区别是是否与顺序有关。具体来说就是排列与顺序有关,组合与顺序无关。在处理时要根据条件做出正确判断。
例2:一个小组有20人,假期中每2个人互通电话一次,各通信一次,共通了多少次电话,写了多少封信?前者甲与乙通话即是乙与甲通话,因此与顺序无关,故是组合问题。而后者甲给乙写一封信与乙给甲写一封信是两回事,因此是排列问题。
二、排列组合问题的解的技巧。在解排列组合问题时,我总结了以下几点解题技巧,供大家参考:
(1)特殊元素“优先安排法”:对于特殊元素的排列组合问题,一般优先考虑特殊元素。
例3:用0、1、2、3、4、5五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有多少个?由于该三位数为偶数,故末尾数字必为偶数,又0不能排在首位,故0就是其中的特殊元素,应该优先安排,按0排在末位和不排在末位分为两类:①0排末位时,有A42个。②0不排在末位时,则有C21A31A31个,由分类计数原理,共有偶数A42+
C21A31A31=30个。
(2)“捆绑法”:在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先把相邻的n个元素排好,再将它们当成一个整体,然后再考虑这个整体与其它元素的排列。
例4:有8本不同的书,其中3本数学书,若将数学书排在一起,共有多少种排法?把数学书排好,有A33种排法,再把这3本数学书捆绑在一起,看成是一个元素,它与其它5本书共6个元素共有A66种排法,根据分步计数原理有A33A66=450种排法。
(3)“插空法”:有些不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它们隔开,解决此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插到它们的间