文档介绍：第一章基本概念
集合
映射
数学归纳法
整数的一些整除性质
数环和数域
课外学****1: 山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村
----评析数学进程中的三次危机
在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。
――康托尔(Cantor,集合论的奠基人,1845-1918)
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。
--高斯(Gauss,1777-1855)
数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。
--麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
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集合
一、内容分布
集合的描述性定义
集合的表示方法
集合间的关系
合的运算及其性质
二、教学目的
掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法
三、重点、难点
集合概念、证明集合相等
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(一) 集合的描述性定义
1、定义
表示一定事物的集体,我们把它们称为集合或集,如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫这个集合的元素.
常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示元素. 若a是集合A的元素,就说a属于A,记作;或者说A包含a,记作A∋a;若a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作;或者说A不包含a,记作
例1 设A是一切偶数所成的集合,那么4∈A,而.
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2、集合的分类
有限集合:含有有限多个元素的集合.
无限集合:由无限多个元素组成的集合.
空集:不含任何元素的集合为空集, 表示为:Ø .
如,前十个正整数的集合;一个学校的全体学生的集合;一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合. 全体自然数的集合;全体实数的集合;小于的全体有理数的集合等都是无限集合.
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(二) 集合的表示方法
枚举法:
例如, 把一个含有n个元素的集合表示成:
,前五个正整数的集合就可以记作.
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举:
自然数的集合可以记作, 拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自然数、整数…
描述法:
如果一个集A是由一切具有某一性质的元素所组成的,那么就用记号
来表示. 例如
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表示一切大于-1且小于
1的实数所组成的集合.
常用的数集:
全体整数的集合,表示为Z;全体有理
数的集合,表示为Q;全体实数的集合,表
示为R;全体复数的集合,表示为C.
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(三) 集合间的关系
设A,B是两个集合,如果A的每一元素都是B的元素,那么就说A是B的子集,记作(读作A包含于B),或记作(读作B包含A),记作:
例1 一切整数的集合是一切有理数的集合的子集,而后者又是一切实数的集合的子集.
1 包含关系
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例2 一切可以用3整除的整数所成的集合,不是一切偶数所成的集合的子集,因为3属于前者但不属于后者. 集合{1,2,3}不是{2,3,4,5}的子集.
注:一个集合A总是它自己的子集,即:
如果A不是B的子集,记作: 或. 因此,A
不是B 的子集,必要且只要A中至少有一个元素不属于B.
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例3 设A={1,2},B是二次方程的
根的集合,则A=B.
显然有下面结论:
如果集合A与B的由完全相同的元素组成的,就说A与B相等,记作:A=B. 记作:
2 相等关系
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