文档介绍：§2 方差、协方差与相关系数
 
一、方差
二、协方差
三、相关系数
四、矩
 
一、方差
例1                      比较甲乙两人的射击技术,已知两人每次击中环数分布为 : :.
问哪一个技术较好?
首先看两人平均击中环数,此时,从均值来看无法分辩孰优孰劣. 但从直观上看,***本上稳定在8环左右,而乙却一会儿击中10环,一会儿击中6环,.
上例说明:对一随机变量,除考虑它的平均取值外,还要考虑它取值的离散程度.
称-为随机变量对于均值的离差(deviation),它是一随机变量. 为了给出一个描述离散程度的数值,考虑用,但由于==0对一切随机变量均成立,即的离差正负相消,因此用是不恰当的. 我们改用描述取值的离散程度,这就是方差.
定义1 若存在,为有限值,就称它是随机变量的方差(variance),记作Var,
Var= (1)
但Var的量纲与不同,为了统一量纲,有时用,称为的标准差(standard deviation).
方差是随机变量函数的数学期望,由§1的(5)式,即可写出方差的计算公式
Var== (2)
进一步,注意到
==
即有
Var=. (3)
许多情况,用(3)式计算方差较方便些.
例1(续) 计算例1中的方差Var与Var.
解利用(3)式
==×+×+×=,
Var==--=.
同理, Var== -64 = > Var, 所以取值较分散. 这说明甲的射击技术较好.
例2 试计算泊松分布P(λ)的方差.
解
所以Var.
例3 设服从[ a, b ]上的均匀分布U [a, b],求Var.
解,
Var.
例4 设服从正态分布,求Var.
解此时用公式(2),由于,
Var
.
可见正态分布中参数就是它的方差, 就是标准差.
方差也有若干简单而重要的性质. 先介绍一个不等式.
切贝雪夫(Chebyshev)不等式若随机变量的方差存在,则对任意给定的正数ε,恒有
. (4)
证设的分布函数为,则
=
=/.
这就得(4)式.
切贝雪夫不等式无论从证明方法上还是从结论上都有一定意义. 事实上,该式断言落在与内的概率小于等于/,或者说,
落在区间内的概率大于1-/,从而只用数学期望和方差就可对上述概率进行估计. 例如,取
ε=3,则
≈.
当然这个估计还是比较粗糙的(当~时,在第二章曾经指出, P(|ξ-|3)=P(|ξ-|3σ)≈ ).
性质1 =0 的充要条件是P(ξ=c) =1,其中c是常数.
证显然条件充分. 反之,如果= 0,记= c, 由切贝雪夫不等式,
P(|ξ- |ε)=0
对一切正数ε成立. 从而
.
性质2 设c,b都是常数,则
Var(+b)=. (5)
证 Var(+b)=E(+b-E(+b)=E(+b-c-b
==.
性质3 若, 则.
证因=E-, 而 E(ξ-c=E-2c+,
.
性质4 =+2 (6)
特别若两两独立,则
=. (7)
证 Var(=E(-E(=E
= E
=+2,
得证(6)式成立. 当两两独立时,对任何有,
故
E=E(
=E=0,
这就得证(7)式成立.
利用这些性质,可简化某些随机变量方差的计算.
例5 设ξ服从二项分布B(n, p), 求.
解如§1例12构造,, 它们相互独立同分布,此时
Var=pq.
由于相互独立必是两两独立的,由性质4
.
例6          设随机变量相互独立同分布, , Var=,
(). 记=, 求,.
解由§1性质2和本节性质2和4有
,
.
这说明在独立同分布时,作为各的算术平均,它的数学期望与各的数学期望相同,但方差只有的1/ n倍. 这一事实在数理统计中有重要意义.
例7 设随机变量ξ的期望与方差都存在,. 令
,
称它为随机变量ξ的标准化. 求与Var.
解由均值与方差的性质可知
,
.
 
二、协方差
数学期望和方差反映了随机变量的分布特征. 对于随机向量, 除去各分量的期望和方差外,还有表示各分量间相互关系的数字特征——协方差.
定义2 记和的联合分布函数为.
若,就称
(8)
为的协方差( covariance),记作Cov().
显然, .公式(6)可改写为
Var()+2.
容易验证,协方差有如下性质:
性质1 Cov()