文档介绍：1.(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.
(Ⅰ)求这三条曲线的方程;
(Ⅱ)已知动直线过点,交抛物线于两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)设抛物线方程为,将代入方程得
………………………………………………(1分)
由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………(2分)
对于椭圆,
………………………………(4分)
对于双曲线,
………………………………(6分)
(Ⅱ)设的中点为,的方程为:,以为直径的圆交于两点,中点为
令………………………………………………(7分)
…………(12分)
2.(14分)已知正项数列中,,点在抛物线上;数列中,点在过点,以方向向量为的直线上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,问是否存在,使成立,若存在,求出值;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)对任意正整数,不等式成立,求正数的取值范围.
解:(Ⅰ)将点代入中得
…………………………………………(4分)
(Ⅱ)………………………………(5分)
……………………(8分)
(Ⅲ)由
………………………………(14分)
3.(本小题满分12分)将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),
得到曲线C.
(1) 求C的方程;
(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,
延长线段ON交C于点E.
求证: 的充要条件是.
解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知………………(2分)
又∴.
所以, 点M的轨迹C的方程为.………………(4分)
(2)设点, , 点N的坐标为,
㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O,
不合题意,舍去; ………………(5分)
㈡设直线l:
由消去x,
得………………①
∴………………(6分)
∴,
∴点N的坐标为.………………(8分)
①若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上,
得, 即∴舍去).
由方程①得
又
∴.………………(10分)
②若, 由①得∴
∴点N的坐标为, 射线ON方程为: ,
由解得∴点E的坐标为
∴.
综上, 的充要条件是.………………(12分)
4.(本小题满分14分)已知函数.
(1) 试证函数的图象关于点对称;
(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和
(3) 设数列满足: , . 设.
若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.
解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.
由得
所以, 点P的坐标为P.………………(2分)
由点在函数的图象上, 得.
∵
∴点P在函数的图象上.
∴函数的图象关于点对称. ………………(4分)
(2)由(1)可知, , 所以,
即………………(6分)
由, ………………①
得………………②
由①+②, 得
∴………………(8分)
(3) ∵, ………………③
∴对任意的. ………………④
由③、④, 得即.
∴.……………(10分)
∵∴数列是单调递增数列.
∴关于n递增. 当, 且时, .
∵
∴………………(12分)
∴即∴∴m的最大值为6. ……………(14分)
5.(12分)、是椭圆的左、右焦点,是椭圆的右准线,点,过点的直线交椭圆于、两点.
当时,求的面积;
当时,求的大小;
求的最大值.
解:(1)
(2)因,
则
设
,
当时,
6.(14分)已知数列中,,当时,其前项和满足,
求的表达式及的值;
求数列的通项公式;
设,求证:当且时,.
解:(1)
.
.
(2)当时,,
综上,.
(3)令,当时,有(1)
法1:等价于求证.
当时,令
,
则在递增.
又,
所以即.
法(2)
(2)
(3)
因,所以
由(1)(3)(4)知.
法3:令,则
所以
因则,
所以(5)
由(1)(2)(5)知
7. (本小题满分14分)
第21题
设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A,P是双曲线上异于顶点的一个动点,从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.
(1) 证明:无论P点在什么位置,总有||2 = |·| ( O为坐标原点);
(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围;
解:(1) 设OP:y = k x, 又条件可设AR: