文档介绍：巧用对偶原理求最值和证不等式
对偶原理在解题中的运用并不陌生,在中学数学教学中有很多地方运用了对偶原理思想。在几何中,互补的两个角是对偶的,互余的两个角是关于90度角对偶的。正与负对偶。共轭因式、共轭复数互为对偶。在分母有理化和实数化运算中,就是对偶原理的应用。运用对偶原理的关键是寻找合适的互补量、合适的互补事物。本文在求最值、证不等式中,活用对偶原理,达到出奇制胜的效果。
求最值
例1 设,求的最大值。
解:令,则就是的对偶量(函数)
此时又
故有所以(当时)
例2 设函数,求的最小值。
解:先考察函数()
由知
联想首尾配对的思想有
由图像及知
思考:已知函数,求的最小值。
证不等式
例3设为正数,,试证:
解:令
(与是一组对偶量)。
有
又
故有所以
例4 已知且,求证:
解:令,构造对偶式
,则有
由及知
,即
思考;已知,求证:
提示:令,
考虑其对偶式,
由即可证之。
由上述例题看到,构造对偶量需知识、经验与灵感。如何寻找对偶量、对偶事物并无定则,只要解决问题就行,这需要靠平时经验的积累和思维的灵敏度。