文档介绍：2007年考研数学二真题解析
(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)
当时,与等价的无穷小量是(B)
A. B. C. D.
(2)函数在区间上的第一类间断点是(A)
A. 0 B. 1 C. D.
(3)如图。连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周,设则下列结论正确的是: (C)
.
(4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是(C)
A. 若存在,则 B. 若存在,
C. 若存在, 则 D. 存在,
(5)曲线渐近线的条数为(D)
0 1 2 3
(6)设函数在上具有二阶导数,且, 令= 则下列结论正确的是(D)
,则必收敛 B. 若,则必发散
C. 若,则必收敛 D. 若,则必发散
(7)二元函数在点(0,0)处可微的一个充分条件是(B)
A.
B. ,且
C.
D. 且
(8)设函数连续,则二次积分等于(B)
(9)设向量组线形无关,则下列向量组线形相关的是: (A)
(A) (B)
(C) (D)
(10)设矩阵A=,B=,则A于B, (B)
(A) 合同,且相似(B) 合同,但不相似
(C) 不合同,但相似(D)既不合同,也不相似
:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上
曲线上对应于的点处的法线斜率为()
设函数,则=
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解y=_
设是二元可微函数,,则
设矩阵,则的秩为_1______
三、解答题:17-24小题,共86分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)设是区间上单调、可导函数,且满足
其中是的反函数,求。
【详解】:
设则。
则原式可化为:
等式两边同时求导得:
(18)(本题满分11分)
设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域。
(Ⅰ)求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积;
(Ⅱ)当为何值时,最小?并求此最小值。
【详解】:
得
故
即是唯一驻点,也是最小值点,最小值
(19)求微分方程满足初始条件的特解。
【详解】:
设,则代入得:
设则
即由于
故
即
由或
特解为或
(20)已知函数具有二阶导数,且=1,函数由方程所确定。设求,
【详解】:
两边对求导得
得(当
故有
(本题11分)
设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值,证明:存在使得
【详解】:
证明:设在内某点同时取得最大值,则,此时的c就是所求点。若两个函数取得最大值的点不同则有设
故有,由介值定理,在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点=0在区间内再用罗尔定理,即
(22)(本题满分11分)
设二元函数
计算二重积分其中
【详解】:
D如图(1)所示,它关于x,y轴对称,对x,y均为偶函数,得
其中是D的第一象限部分。
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